OPTADS360
ATNETWORK
RANDOM
ON
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Cho \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _3}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 9} \right) + y\left( {y - 9} \right) + xy\). Thực hiện tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{3x + 2y - 9}}{{x + y - 10}}\) khi \(x,\,\,y\) thay đổi.

  bởi Thùy Trang 05/05/2022
AMBIENT-ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • \(\begin{array}{l}{\log _3}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 9} \right) + y\left( {y - 9} \right) + xy\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + y} \right) - {\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + 2 = {x^2} + {y^2} + xy + 2 - 9x - 9y\,\,\left( {x + y > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {9x + 9y} \right) + \left( {9x + 9y} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + {x^2} + {y^2} + xy + 2\,\,\left( * \right)\end{array}\)

    Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

    Từ \(\left( * \right) \Rightarrow f\left( {9x + 9y} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) \Leftrightarrow 9x + 9y = {x^2} + {y^2} + xy + 2\)

    \( \Leftrightarrow 9\left( {x + y} \right) = {\left( {x + y} \right)^2} - xy + 2 \Leftrightarrow xy = {\left( {x + y} \right)^2} - 9\left( {x + y} \right) + 2\)

    Ta có: \(x = x + xy - xy = x\left( {y + 1} \right) - xy \le {\left( {\dfrac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - xy\) \( \Rightarrow xy \le {\left( {\dfrac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - x\)

    Từ đó \(xy = {\left( {x + y} \right)^2} - 9\left( {x + y} \right) + 2 \le {\left( {\dfrac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - x\) \( \Leftrightarrow x \le {\left( {\dfrac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} + 9\left( {x + y} \right) - 2\)

    Đặt \(t = x + y > 0\) thì

    \(\begin{array}{l}P = \dfrac{{x + 2\left( {x + y} \right) - 9}}{{x + y + 10}} = \dfrac{{x + 2t - 9}}{{t + 10}} \le \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}{4} - {t^2} + 9t - 2 + 2t - 9}}{{t + 10}}\\ = \dfrac{{{t^2} + 2t + 1 - 4{t^2} + 44t - 44}}{{4t + 40}} = \dfrac{{ - 3{t^2} + 46t - 43}}{{4t + 40}}\end{array}\)

    Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{ - 3{t^2} + 46t - 43}}{{4t + 40}}\,\,\left( {t \ne 10} \right)\).

    Sử dụng MTCT ta tìm được \(\max P = 2\).

      bởi thanh duy 05/05/2022
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12