Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = 2a và \(SA\perp (ABCD);\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = 2a và \(SA\perp (ABCD);\) góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng \(45^{\circ}.\) Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm của SC

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, tính thể tích khối tứ diện NMCD

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)

bởi thu hằng

07/02/2017

QUẢNG CÁO

Câu trả lời (1)

a.

+ \(SA\perp (ABCD)\Rightarrow AB\) là hình chiếu của SB lên (ABCD) ⇒ góc giữa SB và (ABCD) là \((SB; BA) =SBA=45^{\circ}\)

+ \(\triangle SAB\) vuông cân tại A ⇒ SA = a

+ \(S_{OABCD}=AB.AB=2a^{2}\)

+ \(V_{SABCD}=\frac{1}{2}S_{OABCD}.SA=\frac{1}{3}.2a^{2}.a=\frac{2a^{3}}{3}\)

+ \(S_{\triangle MCD}=\frac{1}{2}MC.CD=\frac{1}{2}a.a=\frac{a^{2}}{2}\)

\(d\left [ N;(MCD) \right ]=\frac{1}{2}SA=\frac{a}{2}\)

\(V_{N.MCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle MCD}.d\left [ N;(MCD) \right ]\)

\(=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}}{2}.\frac{a}{2}=\frac{a^{3}}{12}\)

b. Vẽ d qua C và \(d // BD;d\cap AB=E\Rightarrow BD/(SCE)\Rightarrow d(BD;SC)=d(B;(SCE))\)

+ BE = CD = AB suy ra B là trung điểm của AE

\(\Rightarrow d\left [ B;(SCE) \right ]=\frac{1}{2}d\left [ A;(SCE) \right ]\)

\(\left\{\begin{matrix} AH\perp CE\\AK\perp SH \end{matrix}\right.\Rightarrow AK\perp (SCE)\)

(Vì \(\left\{\begin{matrix} AK\perp SH\\AK\perp CE \end{matrix}\right.\; do\; CE\perp (SAH)\Rightarrow d\left [ A;(SCE) \right ]=AK\)

+ \(AH=\frac{4a}{\sqrt{5}}\)

+ \(\triangle SAH\) vuông tại A, AK là đường cao \(\Rightarrow \frac{1}{AK^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AH^{2}}\)

\(EC\cap AD=F\Rightarrow EF=2BD=2a\sqrt{5};AF=4A\)

\(\Rightarrow AH=\frac{AE.AF}{EF}=\frac{2a.4a}{2a\sqrt{5}}=\frac{4a}{\sqrt{5}}\Rightarrow AK=\frac{4a}{\sqrt{21}}\Rightarrow d(BD;SC)=\frac{2a}{\sqrt{21}}\)

Vẽ \(AP\perp SB\Rightarrow AP\perp (SBC)(do\; CB\perp (SAB))\)

Vẽ \(AQ\perp SD\Rightarrow AQ\perp (SCD)\)

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) bằng góc (AP; AQ)

+ \(AP=\frac{a\sqrt{2}}{2};AQ=\frac{2a}{\sqrt{5}}\)

+ \(SP=\frac{a\sqrt{2}}{2};SQ=\frac{a}{\sqrt{5}}\Rightarrow PQ^{2}=SP^{2}+SQ^{2}-2SP.SQ\cos BSD\)

Mà \(\cos BSD=\frac{SB^{2}+SD^{2}-BD^{2}}{2SB.SD}=\frac{2a^{2}}{2a\sqrt{2}.a\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)

\(\Rightarrow PQ^{2}=\frac{2a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{5}-2\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a}{\sqrt{5}}.\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{a^{2}}{2}\)

+ \(\cos \left ( AP;AQ \right )=\left | \cos PAQ \right |=\left | \frac{AP^{2}+AQ^{2}-PQ^{2}}{2AP.AQ} \right |\)

\(=\left | \frac{\frac{2a^{2}}{4}+\frac{4a^{2}}{5}-\frac{2a^{2}}{4}}{2.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2a}{\sqrt{5}}} \right |=\frac{4}{5}.\frac{\sqrt{10}}{4}=\frac{\sqrt{10}}{5}=\left | \frac{\frac{2a^{2}}{4}+\frac{4a^{2}}{5}-\frac{2a^{2}}{4}}{2.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2a}{\sqrt{5}}} \right |=\frac{4}{5}.\frac{\sqrt{10}}{4}=\frac{\sqrt{10}}{5}\)

bởi Co Nan 09/02/2017

Like (0) Báo cáo sai phạm