OPTADS360
AANETWORK
LAVA
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3

Cứu với mọi người!

Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn  x2 + y2 + z2 = 3.Tim giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=(x+y+z)^2-\frac{x^3+y^3+z^3}{9xyz}+\frac{3}{xy+yz+zx}\)

  bởi Anh Nguyễn 07/02/2017
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Ta có \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\Rightarrow (x+y+z)^2=3+2(xy+yz+zx)\)

    lại có \(x^3+y^3+z^3=(x+y+z)\left [ x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx) \right ]+3xyz\)
    \(=(x+y+z)\left [ 3-(xy+yz+zx) \right ]+3xyz\) nên \(\frac{x^3+y^3+z^3}{9xyz}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}\left ( \frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy} \right )\left [ 3-(xy+yz+zx) \right ]\)
    Áp dụng BĐT Cauchy ta có
    \(\left\{\begin{matrix} xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^2.y^2.z^2}\\ \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2.y^2.z^2}} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{9}{xy+yz+zx}\)
    Suy ra \(\frac{x^3+y^3+z^3}{9xyz}\geq \frac{1}{3}+\left ( \frac{1}{xy+yz+zx} \right )\left [ 3-(xy+yz+zx) \right ]\)
    Từ đó ta có
    \(P\leq 3+2(xy+yz+zx)-\frac{1}{3}-\left (\frac{1}{xy+yz+zx} \right )\left [ 3-(xy+yz+zx) \right ]\)\(+\frac{3}{xy+yz+zx}\)
    \(=\frac{11}{3}+2(xy+yz+zx)\)
    do \(0<xy+yz+zx\leq \frac{x^2+y^2+y^2+z^2+z^2+x^2}{2}=3\) nên \(P\leq \frac{11}{3}+6=\frac{29}{3}\)
    Từ đó suy ra GTLN của P là \(\frac{29}{3}\) đạt khi \(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=3\\ xy=yz=xz\\ xy+yz+zx=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)

      bởi hành thư 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF