ADMICRO
AMBIENT
Banner-Video
VIDEO

Cho ba số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 2

Cho ba số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm GTLN của biểu thức

\(S=\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}\)

  bởi Nguyễn Quang Minh Tú 07/02/2017
ADSENSE
QUẢNG CÁO

Câu trả lời (1)

  • Ta có \(\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+(a+b+c)c}}=\sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c} \right )\)

    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+c}\)

    Tương tự ta cũng có \(\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a} \right ),\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b} \right )\)

    Cộng các vế ta được \(S\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a} \right )=\frac{3}{2}.\)

    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{2}{3}.\)

    Vậy \(S_{\max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}.\)

      bởi truc lam 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy

 

 
 

Các câu hỏi có liên quan

YOMEDIA