Bài tập 2 trang 18 SGK Giải tích 12

Nhận xét & Phương pháp giải:

Với những hàm số dễ dàng xét dấu của đạo hàm để lập bảng biến thiên ta thường dùng quy tắc I. Tuy nhiên trong quá trình tìm cực trị của hàm số các em sẽ gặp những hàm số mà việc xác định dấu của đạo hàm rất phức tạp thì chúng ta sẽ ưu tiên sử dụng quy tắc II để tìm cực trị. 

Trước khi giải bài 2, các em cần nắm được các bước đề tìm cực trị bằng quy tắc 2:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm  của phương trình \(f'(x)=0\).

Bước 3: Tính \(f''(x)\) và \(f''(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm .

Chú ý: nếu \(f''(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại .

Lời giải:

Áp dụng các bước trên, ta có lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 2 như sau:

Câu a:

Xét hàm số \(y = x^4 - 2x^2 + 1\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm:

\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4x = 4x({x^2} - 1)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)

\(y'' = 12{x^2} - 4\)

Ta có:

+ Với x = 0: \(y''(0) = -4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại y_CĐ = y(0) = 1.

+ Với x = -1 và x = 1: 

\(y''(-1)=y''(1)=8>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x= \pm1\), giá trị cực tiểu 

\(y_{CT}=y(-1)=y(1)=0.\)

Câu b:

Xét hàm số \(y = sin2x – x\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

\(y' = 2cos2x - 1\).
\(y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi , k \in \mathbb{Z}.\)

Đạo hàm cấp hai: \(y'' = -4sin2x .\)

Ta có: 

+ Với \(x=\frac{\pi}{6}+k \pi\): 

\(y''\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) =  - 4\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) \)

\(=  - 2\sqrt 3  < 0\)

Nên hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\frac{\pi}{6}+k \pi\).

Giá trị cực đại: 

\({y_{CD}} = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) - \frac{\pi }{6} - k\pi \)

\(= \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{6} - k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

+ Với \(x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\):

\(y''\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) =  - 4\sin \left( { - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right)\)

\(= 2\sqrt 3  > 0\) 

Nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\).

Giá trị cực tiểu:

\({y_{ct}} = \sin \left( { - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) + \frac{\pi }{6} - k\pi \)

\(= - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{\pi }{6} - k\pi ,k \in\mathbb{Z}.\)

Câu c:

Xét hàm số \(y = sinx + cosx\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y' = \cos x - \sin x\).

\(\begin{array}{l} y' = 0 \Leftrightarrow \sin x = \cos x\\ \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}. \end{array}\)

Đạo hàm cấp 2: \(y''=-sinx-cosx.\)

+ Với \(k=2m \left ( m \in \mathbb{Z} \right )\) ta có: 

\(y''\left( {\frac{\pi }{4} + 2m\pi } \right) = - \sin \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{4}\)

\(= - \sqrt 2 < 0.\)

Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm 

\(x = \frac{\pi }{4} + 2m\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)

+ Với \(k=2m+1 \left ( m \in \mathbb{Z} \right )\) ta có:

\(y''\left( {\frac{\pi }{4} + \left( {2m + 1} \right)\pi } \right) = \sin \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{4}\)

\(= \sqrt 2 > 0.\)

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại các điểm 

\(x = \frac{\pi }{4} + \left( {2m + 1} \right)\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)

Câu d:

Xét hàm số \(y = x^5 - x^3 - 2x + 1\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y' = 5{x^4} - 3{x^2} - 2\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 5{x^4} - 3{x^2} - 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1.\) 

(Đặt \(t=x^2>0\), giải phương trình bậc hai tìm được \(x^2\)).

Đạo hàm cấp hai:\(y''=20x^3-6x.\)

Với x = 1 ta có: y''(1) = 14 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu y_ct = y(1) = -1.

Với x = -1 ta có: y''(-1) = -14 < 0 hàm số đạt cực đại tại x = -1, giá trị cực đại y_cđ = y(-1) = 3.

-- Mod Toán 12 HỌC247