Bài tập 2.18 trang 61 SBT Hình học 12

a) Giả sử mặt cầu đi qua đỉnh A của hình chóp và tiếp xúc với cạnh SB tại B₁, tiếp xúc với cạnh SC tại C₁. Khi đó mặt cầu cắt cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm C₂, B₂.

Mặt phẳng (SAB) cắt mặt cầu đó theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn này tiếp xúc với SB tại B₁ và đi qua A và C₂.

Do đó, ta có: \(BB{1^{2}} = {\rm{ }}BA.{\rm{ }}B{C^{2}}\) trong đó \(B{B_1} = \frac{{SB}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Do đó, \(B{B_1}^2 = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Vậy \(\frac{{{a^2}}}{2} = a.B{C_2} \Rightarrow B{C_2} = \frac{{{a^2}}}{2}:a = \frac{a}{2}\)

Điều đó chứng tỏ mặt cầu nói trên đi qua trung điểm C₂ của đoạn AB.

Lí luận tương tự ta chứng minh được mặt cầu đó đi qua trung điểm B₂ của AC.

b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D, ta có:

\(SD.SA = SB_1^2\) hay \(SD.a\sqrt 2  = {(\frac{{a\sqrt 2 }}{2})^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Do đó, \(SD = \frac{{{a^2}}}{2}:a\sqrt 2  = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\) và \(AD = SA - SD = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247