Bài tập 2.16 trang 60 SBT Hình học 12

a) \(\widehat {BAC} = {90^0}\)${\mathrm{}}^{}$. Gọi M là trung điểm của BC, ta có MA = MB = MC. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại M. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có  OS = OA = OB = OC

Và \({r^2} = O{A^2} = O{M^2} + M{A^2} = {(\frac{a}{2})^2} + {(\frac{b}{2})^2} + {(\frac{c}{2})^2}\)

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có \(r = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có  OS = OA = OB = OC và \({r^{2}} = O{A^{2}} = O{I^2} + I{A^2}\)

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có

\({r^2} = {(\frac{a}{2})^2} + {(\frac{2}{3}b\frac{{\sqrt 3 }}{2})^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{3}\). Vậy \(r = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{3}} \)

c) \(\widehat {BAC} = {120^0}\) và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 1200 và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b.

Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có: OS = OA = OB = OC và \({r^2} = O{A^2} = O{K^2} + K{A^2} = {(\frac{a}{2})^2} + {b^2}\)

Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính \(r = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + {b^2}} \)

-- Mod Toán 12 HỌC247