Bài tập 12 trang 20 SGK Hình học 12 NC

a)

Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD, CDA, BDA, ABC của tứ diện đều ABCD có trọng tâm G.
Ta có \(\overrightarrow {GA'}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {GA} \)

Gọi \( V_{\left( {G;\frac{{ - 1}}{3}} \right)}}\) là phép vị tự tâm G tỉ số −1/3 ta có A′, B′, C′, D′ lần lượt là ảnh của A, B, C, D qua phép vị tự V. Từ đó suy ra: 

\(\begin{array}{l}
\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{C'D'}}{{CD}} = \frac{{D'A'}}{{DA}}\\
 = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'D'}}{{BD}} = \frac{1}{3}
\end{array}\)

Do đó nếu ABCD là tứ diện đều thì A′B′C′D′ cũng là tứ diện đều.

b)

Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AC, BD, AD, BC của khối tứ diện đều ABCD. Khi đó, tám tam giác MPR, MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NQS, NSP là những tam giác đều, chúng làm thành khối đa diện với các đỉnh là M, N, P, Q, R, S mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của bốn cạnh. Vậy đó là khối tám mặt đều.

-- Mod Toán 12 HỌC247