Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 8 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Hai vách ngăn tủ trong Hình 45 gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Các góc nhị diện đó có phải là những góc nhị diện vuông hay không?

Nêu ví dụ trong thực tiễn minh hoạ hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc?

Nền nhà, cánh cửa và mép cánh cửa ở Hình 48 gợi nên hình ảnh mặt mặt phẳng \(\left( P \right)\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và đường thẳng \(a\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Quan sát Hình 48 và cho biết:

a) Vị trí tương đối của đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\);

b) Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có vuông góc với nhau không.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Chứng minh rằng \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\)?

Cho hình chóp \(S.OAB\) thoả mãn \(\left( {AOS} \right) \bot \left( {AOB} \right)\), \(\widehat {AOS} = \widehat {AOB} = {90^ \circ }\) (Hình 51).

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AOS} \right)\) và \(\left( {AOB} \right)\) là đường thẳng nào?

b) \(SO\) có vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AOS} \right)\) và \(\left( {AOB} \right)\) hay không?

c) \(SO\) có vuông góc với mặt phẳng \(\left( {AOB} \right)\) hay không?

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\left( {ABD} \right) \bot \left( {BCD} \right)\) và \(CD \bot BD\). Chứng minh rằng tam giác \(ACD\) vuông?

Trong Hình 54, hai bìa của cuốn sách gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc với mặt bàn. Hãy dự đoán xem gáy sách có vuông góc với mặt bàn hay không?

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot SB,SB \bot SC,SC \bot SA\). Chứng minh rằng:

a) \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\);

b) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SCA} \right)\);

c) \(\left( {SCA} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

Quan sát ba mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)\) ở Hình 57, chỉ ra hai cặp mặt phẳng mà mỗi cặp gồm hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Hãy sử dụng kí hiệu để viết những kết quả đó?

Chứng minh định lí sau: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia?

Chứng minh các định lí sau:

a) Nếu hai mặt phẳng (phân biệt) cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau theo một giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó;

b) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt còn lại.

Cho một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng đó và vuông góc với mặt phẳng đã cho?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt đáy, tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh rằng:

a) \(SM \bot \left( {ABCD} \right)\);

b) \(AD \bot \left( {SAB} \right)\);

c) \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).

Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh cùng bằng \(a\), hai mặt phẳng \(\left( {A'AB} \right)\) và \(\left( {A'AC} \right)\) cùng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\).

a) Chứng minh rằng \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\).

b) Tính số đo góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau và đường thẳng a nằm trong (P). Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Nếu a ⊥ (Q) thì (P) ⊥ (Q);

B. Nếu a ⊥ (Q) thì a ⊥ b với mọi b ⊂ (Q);

C. Nếu a ⊥ (Q) thì (P) // (Q);

D. Nếu a ⊥ (Q) thì a ⊥ d với d  = (P) ⋂ (Q).

Cho hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc và cắt nhau theo giao tuyến d, đường thẳng a song song với (P). Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Nếu a ⊥ d thì a ⊥ (Q);

B. Nếu a ⊥ d thì a // (Q);

C. Nếu a ⊥ d thì a // b với mọi b ⊂ (Q);

C. Nếu a ⊥ d thì a // c với mọi c // (Q).

Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì:

A. Song song với nhau;

B. Trùng nhau;

C. Không song song với nhau;

D. Song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khi đó mặt phẳng (ABCD) cùng vuông góc với đường thẳng:

A. SA;               B. SB;                 C. SC;                 D. SD.

Hình 26 gợi nên hình ảnh một số cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. Hãy chỉ ra 2 cặp mặt phẳng vuông góc với nhau?

Chứng minh các định lí sau:

a) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.

b) Cho một mặt phẳng và một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng đó. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho và vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’ ⊥ (ABC), tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng (MAA’) ⊥ (BCC’B’)?

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:

a) (SAB) ⊥ (SBC);

b) (SAD) ⊥ (SCD).

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, (SAC) ⊥ (ABCD), (SBD) ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD)?

Cho hình chóp S.ABC có $\widehat{ASB}=\widehat{ASC}=90°.$ Gọi H là trực tâm tam giác ABC.Chứng minh rằng (SAH) ⊥ (ABC)?

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Chứng minh rằng:

a) (SAD) ⊥ (SAB);

b) (SBC) ⊥ (SAB);

c) (SAD) ⊥ (SBC).

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, (SAC) ⊥ (ABCD). Gọi M là trung điểm của AD, (SBM) ⊥ (ABCD). Giả sử SA = 5a, AB = 3a, AD = 4a và góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng φ. Tính cosφ?