Bài tập 38 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

a)

Giả sử có ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thỏa mãn (P) // (Q) và (R) ⊥ (P). Ta cần chứng minh (R) ⊥ (Q).

Gọi a = (P) ∩ (R), lấy d ⊂ (R) sao cho a ⊥ d.

Ta có: (R) ⊥ (P), a = (R) ∩ (P), d ⊂ (R) và a ⊥ d, suy ra d ⊥ (P).

Mà (P) // (Q), d ⊂ (R) nên d ⊥ (Q).

Suy ra (Q) ⊥ (R).

b) Xét đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Ta cần chứng minh: tồn tại duy nhất mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và chứa d.

Chứng minh tính tồn tại mặt phẳng (Q):

· Xét trường hợp d cắt (P) tại A.

Lấy M ∈ d sao cho M ≠ A. Vẽ đường thẳng a đi qua M sao cho a ⊥ (P).

Suy ra d ∩ a = M.

Khi đó hai đường thẳng a và d xác định mặt phẳng (Q) hay mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và d.

Vì a ⊥ (P), a ⊂ (Q) nên ta có (P) ⊥ (Q).

· Xét trường hợp d ⊂ (P) hoặc d // (P).

Lấy M ∈ d. Vẽ đường thẳng a đi qua M sao cho a ⊥ (P).

Suy ra d ∩ a = M.

Khi đó hai đường thẳng a và d xác định mặt phẳng (Q) hay mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và d.

Vì a ⊥ (P), a ⊂ (Q) nên ta có (P) ⊥ (Q).

Chứng minh tính duy nhất mặt phẳng (Q):

Giả sử tồn tại mặt phẳng (Q’) khác (Q) sao cho d ⊂ (Q’) và (P) ⊥ (Q’).

Ta thấy: d = (Q’) ∩ (Q).

Mà (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (Q’) nên suy ra d ⊥ (P).

Mâu thuẫn với giả thiết d không vuông góc với (P).

Như vậy, tồn tại duy nhất mặt phẳng (Q) sao cho d ⊂ (Q) và (P) ⊥ (Q).

-- Mod Toán 11 HỌC247