Toán 11 Cánh Diều Chương 8 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

- Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, ta kí hiệu \((P)\bot (Q)\) hoặc \((Q)\bot (P)\).

Định lí 1

Chứng minh

- Giả sử có hai mặt phẳng (P) và (Q) thoả mãn \(a \subset (P)\) và \(a\bot (Q)\). Gọi O là giao điểm của a và (Q).

- Do hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng chứa O nên hai mặt phẳng đó cắt nhau theo giao tuyến d đi qua O. Trong mặt phẳng (Q), qua O kẻ đường thẳng b vuông góc với d.

- Lấy hai điểm M, N lần lượt thuộc đường thẳng a, b. Ta thấy đường thẳng d vuông góc với hai tia OM, ON, suy ra góc MON là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \([M, d, N]\).

- Do \(a\bot (Q)\), \(ON \subset (Q)\) nên \(a\bot (ON)\), suy ra \(\widehat{MON}={{90}^{0}}\). Vì thế, góc nhị diện \([M, d, N]\) là góc nhị diện vuông hay \((P)\bot (Q)\).

Định lí 2

Chứng minh

- Cho hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Cho đường thẳng \(a \subset (P)\) sao cho \(a\bot d\). Gọi O là giao điểm của a và d.

- Lấy hai điểm M, N lần lượt trên hai mặt phẳng (P), (Q) sao cho M, N không thuộc đường thẳng d. Gọi góc aOb là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \([M, d, N]\).

- Do góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông nên \(\widehat{aOb}={{90}^{0}}\), tức là \(a\bot Ob\). Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (Q) là d và Ob nên \(a\bot (Q)\).

Định lí 3

Chứng minh

- Giả sử hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến d; (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R).

- Gọi a, b lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng (R) với hai mặt phẳng (P), (Q). Xét điểm M thuộc đường thẳng d.

- Trong mặt phẳng (P), gọi \({d_1}\) là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng a. Theo Định lí 2, ta có: \({d_1}\bot (R)\).

- Trong mặt phẳng (Q), gọi \({d_2}\) là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng b. Theo Định lí 2, ta có:  \({d_2}\bot (R)\).

- Suy ra \({d_1}\) trùng \({d_2}\) nên hai đường thẳng đó cùng nằm trên cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Cho nên \({d_1},{d_2}\) và d trùng nhau. Vậy  \(d\bot (R)\).

Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân AB = AC = a, \(\widehat {BAC} = {120^0}\), BB’ = a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I)?

Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).

Theo công thức hình chiếu ta có: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB'I}}}}\).

Ta có:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin {120^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\(AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(AB' = \sqrt {A{B^2} + BB{'^2}} = a\sqrt 2\)

\(IB' = \sqrt {B'C{'^2} + IC{'^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)

Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên \({S_{AB'I}} = \frac{1}{2}.AB'.AI = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}\).

Vậy: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB'I}}}} = \sqrt {\frac{3}{{10}}} .\)

Hướng dẫn giải

Kẻ \(BH \bot A'C,{\rm{ (H}} \in {\rm{A'C)}}\) (1).

Mặt khác: \(BD \bot AC{\rm{ (gt)}}\)

\(AA' \bot (ABCD) \Rightarrow AA' \bot BD{\rm{ }}\)

\(\Rightarrow BD \bot (ACA') \Rightarrow BD \bot A'C\) (2)

Từ (1) (2) suy ra:

\(A'C \bot (BDH) \Rightarrow A'C \bot DH\)

Do đó: \((\widehat {(BA'C),(DA'C)}) = (\widehat {HB,HD})\).

Xét tam giác BCA' ta có:

\(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{BA{'^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow BH = a.\sqrt {\frac{2}{3}} \Rightarrow DH = a.\sqrt {\frac{2}{3}}\)

Ta có: 

\(\cos \widehat {BHD} = \frac{{2B{H^2} - B{D^2}}}{{2B{H^2}}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BHD} = {120^0}>90^0\).

Vậy: \(\widehat {((BA'C),(DA'C))} =180^0-120^0= {60^0}.\) 

Học xong bài học này, em sẽ hoàn thành một số mục tiêu sau:

- Nhận biết khái niệm hai mặt phẳng vuông góc.

- Xác định điều kiện hai mặt phẳng vuông góc.

- Giải thích tính chất cơ bản của hai mặt phẳng vuông góc.

- Vận dụng kiến thức của bài học để mô tả một số hình ảnh thực tế.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 8 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Trong không gian các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng? 

  • A. Cho \(c\bot a\), \(c\bot b\) khi đó \(a\,\text{//}\,b\). 
  • B. Cho \(A\bot \left( \alpha  \right)\) mọi \(mp\left( \beta  \right)\) chứa \(a\) thì \(\left( \beta  \right)\bot \left( \alpha  \right)\). 
  • C. Cho \(A\bot b\), nếu\(A\subset \left( \alpha  \right)\) và \(b\subset \left( \beta  \right)\) thì \(\left( \alpha  \right)\bot \left( \beta  \right)\) 
  • D. Cho \(A\bot b\), mọi mặt phẳng chứa \(b\) đều vuông góc với \(a\).

• Câu 2:

  Cho hình chóp \(S.ABCD\) đều. Gọi là \(O\) giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Tìm mệnh đề sai? 

  • A. \(\left( SAC \right)\bot \left( SBD \right)\).  
  • B. \(SO\bot \left( ABCD \right)\).    
  • C. \(\left( SBD \right)\bot \left( ABCD \right)\).         
  • D. \(CD\bot \left( SAD \right)\).

• Câu 3:

  Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Khẳng định nào sai? 

  • A. \((SCD)\bot (SAD)\). 
  • B. \((SDC)\bot (SAO)\).      
  • C. \((SBC)\bot (SAB)\).                 
  • D. \((SBD)\bot (SAC)\).

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 8 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 95 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 1 trang 95 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 2 trang 96 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 2 trang 97 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 3 trang 97 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 3 trang 97 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 4 trang 98 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 4 trang 99 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 1 trang 99 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 2 trang 99 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 3 trang 99 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 4 trang 99 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 5 trang 99 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 6 trang 99 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 33 trang 103 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 34 trang 103 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 35 trang 103 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 36 trang 103 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 37 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 38 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 39 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 40 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 41 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 42 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 43 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 44 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!