Bài tập 50 trang 48 SGK Toán 11 NC

a) Thay \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) vào phương trình ta được:

\(\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{3k}}}}{{ - {{\left( { - 1} \right)}^k}}} = \cos \pi  \Leftrightarrow  - 1 =  - 1\) (luôn đúng)

Vậy \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) là nghiệm phương trình

b)

• \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) là nghiệm phương trình.
• Với \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) chia tử và mẫu của vế trái cho cos³x ta được:

\(\frac{{{{\tan }^3}x + 1}}{{2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}} = \frac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}\)

Đặt t = tanx ta được:

\(\begin{array}{l}
\frac{{{t^3} + 1}}{{\left( {2 - t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)}} = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\\
 \Leftrightarrow {t^3} + 1 = \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {t - 2} \right)\\
 \Leftrightarrow {t^3} + 1 = {t^3} - 2{t^2} - t + 2\\
 \Leftrightarrow 2{t^2} + t - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t =  - 1\\
t = \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x =  - 1\\
\tan x = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \alpha  + k\pi 
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 

\(\begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\\
x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247