Bài tập 4.52 trang 173 SBT Toán 10

Mỗi khi chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao của lần rơi ngay trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao này.

Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến

-  thời điểm chạm đất lần thứ nhất là d1 = 63

- thời điểm chạm đất lần thứ hai là \({d_2} = 63 + 2.\frac{{63}}{{10}}\)

- thời điểm chạm đất lần thứ ba là \({d_3} = 63 + 2.\frac{{63}}{{10}} + 2.\frac{{63}}{{{{10}^2}}}\)

- thời điểm chạm đất lần thứ tư là \({d_4} = 63 + 2.\frac{{63}}{{10}} + 2.\frac{{63}}{{{{10}^2}}} + 2.\frac{{63}}{{{{10}^3}}}\)

 ….

- thời điểm chạm đất thứ n(n > 1) là \({d_n} = 63 + 2.\frac{{63}}{{10}} + 2.\frac{{63}}{{{{10}^2}}} + 2.\frac{{63}}{{{{10}^3}}} + ... + 2.\frac{{63}}{{{{10}^{n - 1}}}}\)

Do đó độ dài hành trình của quả bóng từ khi bắt đầu rơi đến khi nằm yên trên mặt đất là

\(\begin{array}{l}
d = 63 + 2.\frac{{63}}{{10}} + 2.\frac{{63}}{{{{10}^2}}} + 2.\frac{{63}}{{{{10}^3}}} + ... + 2.\frac{{63}}{{{{10}^{n - 1}}}} + ...\\
 = 63 + 2.\frac{{63}}{{10}}\left( {1 + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{{{10}^2}}} + ...} \right) = 63 + \frac{{63}}{5}.S\,\,\,\left( m \right)\,
\end{array}\)

Ta có: 

\(S = 1 + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^3}}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{10}}{9}\) (tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = 1,q = \frac{1}{{10}}\))

Vậy \(d = 63 + \frac{{63}}{5}.\frac{{10}}{9} = 77\) (m).

-- Mod Toán 11 HỌC247