Bài tập 4.61 trang 175 SBT Toán 11

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {x + \frac{1}{2}} \right)\). Ta có g(x) liên tục trên [0;1] nên g(x) liên tục trên \(\left[ {0;\frac{1}{2}} \right]\)$$

 \(\begin{array}{l}
g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - f\left( {\frac{1}{2}} \right)\\
g\left( {\frac{1}{2}} \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) - f\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) - f\left( 1 \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) - f\left( 0 \right)
\end{array}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}
g\left( 0 \right).g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \left[ {f\left( 0 \right) - f\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right].\left[ {f\left( {\frac{1}{2}} \right) - f\left( 0 \right)} \right]\\
 =  - {\left[ {f\left( 0 \right) - f\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right]^2} \le 0
\end{array}\)

Nếu \(g\left( 0 \right).g\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\) thì x = 0 hoặc \(x = \frac{1}{2}\) là nghiệm của phương trình g(x) = 0.

Nếu \(g\left( 0 \right).g\left( {\frac{1}{2}} \right) < 0\) thì phương trình g(x) = 0 có nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)

Vậy phương trình \(f\left( x \right) - f\left( {x + \frac{1}{2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\frac{1}{2}} \right]\).

-- Mod Toán 11 HỌC247