Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Một vât dịch chuyển từ A đến B và tiếp tục dịch chuyển từ B đến C (Hình 49).

a) Biểu diễn vecto dịch chuyển của vật từ A đến B và từ B đến C.

b) Xác định vecto dịch chuyển tổng hợp của vật

Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \). Lấy một điểm A tùy ý.

a) Vẽ \(\overrightarrow {AB}  = a\), \(\overrightarrow {BC}  = b\)

b) Tổng của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)bằng vecto nào?

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN} \)

Cho ABCD là hình bình hành (Hình 52). So sánh:

a) Hai vecto \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).

b) Vecto tổng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) và vecto \(\overrightarrow {AC} \)

Hãy giải thích hướng đi của thuyền ở Hình 48.

Cho hình bình hành ABCD và điểm E bất kì. Chứng minh: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AE} \).

Trong Hình 54, hai ròng rọc có trục quay nằm ngang và song song với nhau, hai vật có trọng lượng bằng nahu. Mỗi dây có một đầu buộc vào vật, một đầu buộc vào một mảnh nhựa cứng. Hai vật lần lượt tác động lên mảng nhựa các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} .\) Nhận xét về hướng và độ dài của mỗi cặp vecto sau:

a) \(\overrightarrow {{P_1}} \) và \(\overrightarrow {{P_2}} \) biểu diễn trọng lực của hai vật

b) \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\;\overrightarrow {{F_2}} .\)

(Bỏ qua trọng lượng các dây và các lực ma sát).

Cho hai vecto \(\overrightarrow a \),\(\overrightarrow b \). Lấy một điểm M tùy ý.

a) Vẽ \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow b ,\;\overrightarrow {MC}  =  - \overrightarrow b \) (Hình 56)

b) Tổng của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(( - \overrightarrow b )\) bằng vecto nào?

Cho tam giác ABC có M là trung điểm AC, N là trung điểm BC và AB = a. Tính độ dài vecto \(\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {NB} \).

Cho ba điểm M, N, P. Vecto \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN} \) bằng vecto nào sau đây?

A. \(\overrightarrow {PN} \)

B. \(\overrightarrow {PM} \)

C. \(\overrightarrow {MP} \)

D. \(\overrightarrow {NM} \)

Cho ba điểm D, E, G. Vecto \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {DE}  + ( - \overrightarrow {DG} )\) bằng vecto nào sau đây?

A. \(\overrightarrow {EG} \)

B. \(\overrightarrow {GE} \)

C. \(\overrightarrow {GD} \)

D. \(\overrightarrow {ED} \)

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

Cho hình hình hành ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Các khảng định sau đúng hay sai?

a)  \(|\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} |\; = \;|\overrightarrow {AC} |\)

b) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {CB} \)

c) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} \)

Cho đường tròn tâm O. Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn. Tìm điều kiện cần và đủ để hai vecto \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \) đối nhau.

Cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh \(\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD} \) với mỗi điểm M trong mặt phẳng.

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính độ dài các vecto sau:

a) \(\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} \)

c) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \) với O là giao điểm của AC và BD.

Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {OA} ,\;\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {OC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm O và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} \)đều là 120 N và \(\widehat {AOB} = {120^o}\). Tìm cường độ và hướng của lực \(\overrightarrow {{F_3}} .\)

Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là 10 km/h. Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc 40 km/h so với mặt nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.

Cho ba điểm M, N, P phân biệt. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {MN}  - \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {MP} \)      

B. \( - \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {MP} \)

C. \(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {MP} \)      

D. \(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP}  =  - \overrightarrow {MP} \)

Cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {CA} \)

B. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} \)

C. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {CA} \)      

D. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  =  - \overrightarrow {AC} \)

Cho các điểm A, B, O. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} \)      

B. \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} \)

C. \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \)

D. \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA} \) 

Cho ba điểm A, B, M phân biệt. Điều kiện cần và đủ để điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB} \)  

B. \(\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right|\)

C. \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) ngược hướng

D. \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \) 

Cho tam giác ABC. Điều kiện cần và đủ để điểm G là trọng tâm tam giác ABC là:

A. \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  = \overrightarrow {GC} \)      

B. \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {AG} \)

C. \(\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {GB} \)      

D. \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Cho tứ giác ABCD, O là trung điểm của AB. Chứng minh \(\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \)(*)

Cho tam giác ABC vuông tại A, \(AB = 4a,AC = 5a\). Tính

a)  \(\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right|\)          

b) \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right|\)

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính:

a)  \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right|\)          

b) \(\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right|\)           

c) \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right|\)

Cho tam giác ABC thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right|\) (*). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng nếu hai vectơ cùng hướng thì \(\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|\)

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right|\)

Cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo , E là trung điểm của AD, G là giao điểm của BE và AC. Tính:

a) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} \)           

b) \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GD} \)

Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AM} } \right|\)

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm là G. Chứng minh \(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow 0 \)

Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh đôi một khác nhau. Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, D là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow {HD} \)