Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Tích của một số với một vectơ

+) Quy ước: \(0\;\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \) và \(k\;\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \)

+) Tính chất: Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực \(k,t\) ta luôn có:

 \(\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a \\(k + t)\,\overrightarrow a  = k\overrightarrow a  + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a  = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a  =  - \,\overrightarrow a \end{array}\)

Ví dụ: Thực hiện các phép toán vecto sau:

\(\begin{array}{l}
a)5\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\\
b)\left( {x + 2} \right)\overrightarrow a \\
c) - 3\left( {4\overrightarrow e } \right)\\
d)\overrightarrow c  - 2\overrightarrow c 
\end{array}\)

Giải

\(\begin{array}{l}
a)5\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right) = 5\overrightarrow u  + 5\overrightarrow v \\
b)\left( {x + 2} \right)\overrightarrow a  = x\overrightarrow a  + 2\overrightarrow a \\
c) - 3\left( {4\overrightarrow e } \right) = \left( { - 3.4} \right)\overrightarrow e  =  - 12\overrightarrow e \\
d)\overrightarrow c  - 2\overrightarrow c  = \left( {1 - 2} \right)\overrightarrow c  = \left( { - 1} \right)\overrightarrow c  =  - \overrightarrow c 
\end{array}\)

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} .\)

Chú ý: Cho hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Với mỗi vecto \(\overrightarrow c \) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m;n)\) sao cho \(\overrightarrow c  = m\,\overrightarrow a  + n\,\overrightarrow b \)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho \(AK = \frac{1}{3}AC\). 

a) Tỉnh \(\overrightarrow {BI} \) theo \(\overrightarrow {BA} \), \(\overrightarrow {BC} \).

b)Tính \(\overrightarrow {BK} \) theo \(\overrightarrow {BA} \), \(\overrightarrow {BC} \).

c) Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Giải

a) \(\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BA} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \) (1)

b) \(\overrightarrow {BK}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \) (2)

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Rightarrow 4\overrightarrow {BI}  = 2\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} \\
\left( 2 \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {BK}  = 2\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} 
\end{array}\)

Nên \(\overrightarrow {BI}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {BK} \) (3)

Từ (3) suy ra ba điểm B, I, K thẳng hàng

Câu 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \)

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC}  = 3\overrightarrow {MG} \)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \)

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG}  = 3\overrightarrow {MG} \) (đpcm) ( Vì G  là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \))

Câu 2: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \). Chứng minh ba điểm I, G, J  thẳng hàng

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GJ}  + \overrightarrow {JC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GJ}  + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {GI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + 2\overrightarrow {GJ}  + \left( {\overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {GI}  + 2\overrightarrow {GJ}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {GJ} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {GJ}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \)G là trung điểm của đoạn thẳng IJ

Vậy I, G, J thẳng hàng

Qua bài giảng trên giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Nêu được định nghĩa và tính chất của tích vectơ với một số.

- Nêu được tính chất trung điểm của đoạn thẳng và tính chất trọng tâm của tam giác.

- Xác định được vectơ khi cho trước số thực k và vectơ .

- Vận dụng được tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác để giải bài toán đơn giản.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC . Biết \(A B=4, B C=5 \text { và } C A=6\) . Khi đó \(\overrightarrow{D E}\) bằng:

  • A. \(\frac{5}{9} \overrightarrow{C A}-\frac{3}{5} \overrightarrow{C B}\) 
  • B. \(\frac{3}{5} \overrightarrow{C A}-\frac{5}{9} \overrightarrow{C B}\) 
  • C. \(\frac{9}{5} \overrightarrow{C A}-\frac{3}{5} \overrightarrow{C B}\) 
  • D. \(\frac{3}{5} \overrightarrow{C A}-\frac{9}{5} \overrightarrow{C B}\) 

• Câu 2:

  Cho tam giác ABC . Tìm điểm M thỏa \(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+2 \overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}\) 

  • A. M là trung điểm cạnh IC, với I là trung điểm của cạnh AB
  • B. M trùng với đỉnh C của tam giác ABC
  • C.  M là trọng tâm của tam giác ABC.
  • D. M là đỉnh của hình bình hành MCAB

• Câu 3:

  Cho tam giác ABC với phân giác trong AD . Biết AB=5, BC=6, CA=7 . Khi đó \(\overrightarrow{A D}\) bằng:

  • A. \(\frac{5}{12} \overrightarrow{A B}+\frac{7}{12} \overrightarrow{A C}\) 
  • B. \(\frac{7}{12} \overrightarrow{A B}-\frac{5}{12} \overrightarrow{A C}\) 
  • C. \(\frac{7}{12} \overrightarrow{A B}+\frac{5}{12} \overrightarrow{A C}\) 
  • D. \(\frac{5}{12} \overrightarrow{A B}-\frac{7}{12} \overrightarrow{A C}\) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động khám phá 1 trang 94 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 1 trang 95 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 2 trang 95 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Vận dụng trang 95 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 2 trang 96 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 3 trang 96 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 6 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 7 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 96 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 97 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 97 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 97 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 97 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 6 trang 97 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!