Dưới đây là lý thuyết và bài tập minh họa về Tổng và hiệu của hai vectơ Toán 10 Chân trời sáng tạo đã được HỌC247 biên soạn ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu giúp các em dễ dàng nắm được nội dung chính của bài. Mời các em học sinh cùng tham khảo!
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Tổng của hai vectơ
|
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\). Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \). Khi đó \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\overrightarrow a\), \(\overrightarrow b\) được kí hiệu là \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \). Vậy \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) |
|---|
Quy tắc ba điểm:
Với 3 điểm M, N, P ta có: \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \)
Quy tắc hình bình hành:
Nếu OABC là hình bình hành thì ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} \)
Chú ý:
+ Khi công hai vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuỗi của vectơ thứ nhât phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.
Ví dụ: Cho các điểm E, F, G, H, K. Thực hiện các phép cộng vecto
\(\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FH} ;\overrightarrow {FK} + \overrightarrow {KG} ;\overrightarrow {HF} + \overrightarrow {HE} \)
Giải
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FH} = \overrightarrow {EH} ;\\
\overrightarrow {FK} + \overrightarrow {KG} = \overrightarrow {FG} ;\\
\overrightarrow {HF} + \overrightarrow {HE} = \overrightarrow {EE} = \overrightarrow 0.
\end{array}\)
1.2. Tính chất của phép cộng các vectơ
|
Phép cộng vecto có các tính chất sau: + Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \) + Tính chất kết hợp: \((\overrightarrow a + \overrightarrow b ) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + (\overrightarrow b + \overrightarrow c )\) + Với mọi vecto \(\overrightarrow a ,\) ta luôn có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \overrightarrow a = \overrightarrow a \) |
|---|
Chú ý: \(\overrightarrow a + ( - \overrightarrow a ) = \overrightarrow 0 \) (Tổng hai vecto đối luôn bằng vecto-không)
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Thực hiện các phép cộng vecto sau: \(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {BC} \)
Giải
Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng vecto, ta có:
\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CC} = \overrightarrow 0 \)
1.3. Hiệu của hai vectơ
| Hiệu của hai vecto \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow b } \right)\) |
|---|
.JPG)
Chú ý: Cho ba điểm O, A, B ta có: \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AB} \)
.JPG)
Ví dụ: Cho các điểm M, N, P, Q. Thực hiện các phép trừ vecto sau: \(\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {PN} ;\overrightarrow {PM} - \overrightarrow {PQ} \)
Giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} ;\\
\overrightarrow {PM} - \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {QP} = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow {QM} .
\end{array}\)
1.4. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
|
+) M là trung điểm AB \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) +) G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) |
|---|
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD cóI, J lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của IJ. Chứng minh \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
Giải
Do I, J, O lần lượt là trung điểm của AB, CD và Ị nên:
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} = \overrightarrow 0 \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ} + \overrightarrow {JC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ} + \overrightarrow {JD} } \right)\\
= \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} } \right)\\
= \overrightarrow 0
\end{array}\)
Bài tập minh họa
Câu 1: Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Cho biết \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} ;\overrightarrow b = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BC} \). Chứng minh rằng hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
Hướng dẫn giải
.JPG)
Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
\(\overrightarrow a = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow b = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DC} \)
Mà ABCD là hình thang nên AB//DC. Mặt khác vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {DC} \) đều có hướng từ trái sang phải, suy ra vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {DC} \)cùng hướng
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
Câu 2: Cho tam giác đều ABC cạnh có độ dài là a. Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\)
Hướng dẫn giải
.JPG)
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào ABDC ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD\)
Gọi O là giao điểm của AD và BC, ta có:
\(AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {\frac{1}{2}BC} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(AD = 2AO = a\sqrt 3 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 \)
Vậy độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) là \(a\sqrt 3 \)
Câu 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ sau:
a) \(\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {CB} ;\)
b) \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} .\)
Hướng dẫn giải
a) \(\begin{array}{l}\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {CB} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {BD} \\ = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 1\end{array}\)
b) \(\begin{array}{l}\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {AC} \end{array}\)
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 2 \)
Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:
a) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)
b) \(\overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)
c) \(\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow 0 \)
Hướng dẫn giải
.JPG)
a) Áp dụng tính chất trọng tâm ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADB
Vậy M nằm trên đoạn thẳng AO sao cho \(AM = \frac{2}{3}AO\)
b) Tiếp tục áp dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD
Vậy N nằm trên đoạn thẳng OD sao cho \(ON = \frac{1}{3}OD\)
c) Áp dụng tính chất trung điểm ta có: \(\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng MN
Vậy điểm P trùng với điểm O
Luyện tập Bài 2 Chương 5 Toán 10 CTST
Qua bài giảng trên giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Nắm được cách dựng vectơ tổng của hai vectơ theo định nghĩa và theo quy tắc hình bình hành.
- Nắm các tính chất của phép cộng vectơ , liên hệ với phép cộng hai số thực.
3.1. Bài tập trắc nghiệm Bài 2 Chương 5 Toán 10 CTST
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
-
- A. \(\overrightarrow {AB} \; + \;\overrightarrow {AC} \; = \;\overrightarrow {BC} \)
- B. \(\overrightarrow {AB} \; + \;\overrightarrow {CA} \; = \;\overrightarrow {CB} \)
- C. \(\overrightarrow {CA} \; - \;\overrightarrow {BA} \; = \;\overrightarrow {BC} \)
- D. \(\overrightarrow {AB} \; - \;\overrightarrow {BC} \; = \;\overrightarrow {CA} \)
-
- A. \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OB\)
- B. \(\overrightarrow {OA} \; = \;\overrightarrow {OB} \)
- C. \(\overrightarrow {AO} \; = \;\overrightarrow {BO} \)
- D. \(\overrightarrow {OA} \; = \; - \overrightarrow {OB} \)
-
Câu 3:
Cho hình bình hành ABCD, I là giao điểm hai đường chéo. Khi đó, khẳng định nào sau đây là đúng?
- A. \(\overrightarrow {AB} \; - \;\overrightarrow {IA} \; = \;\overrightarrow {BI} \)
- B. \(\overrightarrow {BA} \; + \;\overrightarrow {BC} \; + \;\overrightarrow {DB} \; = \;\vec 0\)
- C. \(\overrightarrow {AB} \; - \;\overrightarrow {CD} \; = \;\vec 0\)
- D. \(\overrightarrow {AC} \; - \;\overrightarrow {BD} \; = \;\vec 0\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 2 Chương 5 Toán 10 CTST
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khởi động trang 88 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 1 trang 88 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 89 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 1 trang 89 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 2 trang 89 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Vận dụng 1 trang 90 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Vận dụng 2 trang 90 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 90 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 3 trang 91 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 3 trang 91 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 4 trang 92 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 4 trang 92 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 5 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 1 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 2 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 3 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 4 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 5 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 6 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 7 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 8 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 1 trang 94 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 2 trang 94 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 3 trang 94 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 4 trang 94 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 5 trang 94 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 6 trang 94 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải bài 7 trang 94 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hỏi đáp Bài 2 Chương 5 Toán 10 CTST
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 HỌC247
