RANDOM
AMBIENT
Banner-Video
VIDEO

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(\small P=\frac{\sqrt{3(2x^2+2x+1)}}{3}

Xét số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

\(\small P=\frac{\sqrt{3(2x^2+2x+1)}}{3}+\frac{1}{\sqrt{2x^2+(3-\sqrt{3})x+3}}+\frac{1}{\sqrt{2x^2+(3+\sqrt{3})x+3}}\)

  bởi thi trang 07/02/2017
ADSENSE
QUẢNG CÁO

Câu trả lời (4)

  • Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, với mỗi số thực x, xét các điểm \(A(x; x+1) B(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2})\) và \(C(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2})\)

    Khi đó, ta có \(P = \frac{OA}{a}+\frac{OB}{b}+\frac{OC}{c}\) trong đó a = BC, b = CA và c = AB.

    Gọi G là trọng tâm \(\Delta\)ABC, ta có:

    \(P=\frac{OA.GA}{a.GA}+\frac{OB.GB}{b.GB}+\frac{OC.GC}{c.GC}=\frac{3}{2}\left ( \frac{OA.GA}{am_a} +\frac{OB.GB}{b.m_b}+\frac{OC.GC}{c.m_c}\right )\)

    trong đó, \(m_a, m_b, m_c\) tương ứng là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C của \(\Delta\)ABC.

    Theo bất đẳng thức Cô si cho hai số thực không âm, ta có

    \(a.m_a=\frac{1}{2\sqrt{3}}.\sqrt{3a^2(2b^2+2c^2-a^2)}\)

    \(\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3a^2(2b^2+2c^2-a^2)}}{2}= \frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\)

    Bằng cách tương tự, ta cũng có: \(b.m_b\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\) và \(c.m_c\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\)

    Suy ra \(P\geq \frac{3\sqrt{3}}{a^2+b^2+c^2}(OA.GA+OB.GB+OC.GC)\)  (1)

    Ta có: \(OA.GA+OB.GB+OC.GC\geq \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{GC}\)      (2)

    \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{GC}\)
    \(= \left ( \overrightarrow{OG} +\overrightarrow{GA}\right )\overrightarrow{GA} + \left ( \overrightarrow{OG} +\overrightarrow{GB}\right )\overrightarrow{GB} + \left ( \overrightarrow{OG} +\overrightarrow{GC}\right )\overrightarrow{GC}\)
    \(=\overrightarrow{OG}.(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+GA^2+GB^2+GC^2\)
    \(=\frac{4}{5}(m_a^2+m_b^2+m_c^2)=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\)      (3)

    Từ (1), (2) và (3), suy ra \(P\leq \sqrt{3}\)
    Hơn nữa, bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy \(P\leq \sqrt{3}\) khi x = 0

    Vậy min \(P\leq \sqrt{3}\)

     

      bởi Hong Van 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy

 

 
 

Các câu hỏi có liên quan

YOMEDIA