OPTADS360
AANETWORK
LAVA
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=(x+y)(y+z)(z+x)+\frac{48}{\sqrt{x+y+z+3}}\)

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 8 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=(x+y)(y+z)(z+x)+\frac{48}{\sqrt{x+y+z+3}}\)

  bởi Mai Đào 07/02/2017
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • \((x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-8\)
    Ta có: \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\)
    \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca) \ \(*)\) Thay \(a=xy;b=yz;c=zx\) vào \((*)\Rightarrow (xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)\Rightarrow (xy+yz+zx)\geq 2\sqrt{6(x+y+z)}\)
    Do đó \(P\geq 2(x+y+z)\sqrt{6(x+y+z)}+\frac{48}{\sqrt{x+y+z+3}}-8\)
    Đặt \(t=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=6\)
    \(\Rightarrow P\geq 2t\sqrt{6t}+\frac{48}{\sqrt{3+t}}-8,(t=x+y+z,t\geq 6)\)
    Xét hàm số 
    \(f(t)=2t\sqrt{6t}+\frac{48}{\sqrt{3+t}}-8,(t\geq 6)\Rightarrow f'(t)=\frac{3\sqrt{6t(t+3)^2}-24}{\sqrt{(t+3)^3}}\)\(\Rightarrow f'(t)>0,\forall t\geq 6\)
    \(\Rightarrow f(t)\) đồng biến trên [6;+\(\infty\)). Vậy \(\underset{[6;+\infty)}{Min}f(t)=f(6)=80\)
    Suy ra P \(\geq\) 80 dấu bằng xảy ra khi x=y=z= 2
    Kết luận : Giá trị nhỏ nhất của P là 80 đạt được khi x=y=z= 2

      bởi Nguyễn Anh Hưng 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF