Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{4x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{4y^2+\frac{1}{y^2}}-(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1})\)

+ Gọi  \(M = \sqrt{4x^2+\frac{1}{x^2}}+ \sqrt{4y^2+\frac{1}{y^2}}\)
Ta có:  \(M \geq \frac{1}{\sqrt{5}}(2x+\frac{2}{x})+\frac{1}{\sqrt{5}}(2y+\frac{2}{y})=\frac{2}{\sqrt{5}}(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\) (Theo Cauchy – Schwarz)
\(\frac{4}{\sqrt{5}}(\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}})=\frac{4}{\sqrt{5}}(4\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}}-\sqrt{xy})\) (The BĐT AM –GM)
\(\geq \frac{4}{\sqrt{5}}\left ( 2\sqrt{4\sqrt{xy\frac{1}{xy}}}-\frac{3}{2} \right )=2\sqrt{5}\)  (do giả thiết)
Suy ra \(M\geq 2\sqrt{5}\)    (1)
+ Gọi \(N = \frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}\)
Ta có: \(N = \frac{x}{(x^2+1)+\frac{3}{4}}+\frac{y}{(y^2+\frac{1}{4})+\frac{3}{4}}\leq \frac{x}{x+\frac{3}{4}}+\frac{y}{y+\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{4x}{4x+3}+\frac{4y}{4y+3}\)
Hơn nữa: \(=\frac{4x}{4x+3}+\frac{4y}{4y+3}=2-3\left ( \frac{1}{4x+3}+\frac{1}{4y+3} \right )\leq 2-3\frac{4}{4x+4y+6}\)
 \(= 2-3.\frac{4}{10}=\frac{4}{5}\)
Do đó \(-N\geq -\frac{4}{5}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(P\geq 2\sqrt{5}-\frac{4}{5}\)
Khi \(x=y=\frac{1}{2}\) thì \(P=2\sqrt{5}-\frac{4}{5}\). Vậy Min \(P=2\sqrt{5}-\frac{4}{5}\)