OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^2}{(1-a)^2+5bc}+\frac{16b^2-27(a+bc)^2}{36(a+c)^2}\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{a^2}{(1-a)^2+5bc}+\frac{16b^2-27(a+bc)^2}{36(a+c)^2}\)

  bởi Bo bo 07/02/2017
ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Ta có: \(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{16b^2-27\left [ a(a+b+c) +bc\right ]^2}{36(a+c)^2}\)
    \(=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{16b^2-27\left [ (a+b)(a+c) \right ]^2}{36(a+c)^2}\) \(=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{4b^2}{9(a+c)^2}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)

    Ta lại có \(\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}\geq \frac{a^2}{(b+c)^2+\frac{5}{4}(b+c)^2}=\frac{4a^2}{9(b+c)^2}\)
    \(P\geq \frac{4a^2}{9(b+c)^2}+\frac{4b^2}{9(a+c)^2}-\frac{3}{4}(a+b)^2\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{a}{b+c} +\frac{b}{a+c}\right )^2-\frac{3}{4}(a+b)^2\)
    \(\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ba+bc} \right )-\frac{3}{4}(a+b)^2\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{(a+b)^2}{ab+ac+ba+bc} \right )-\frac{3}{4}(a+b)^2\)
    \(\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{(a+b)^2}{2ab+(a+b)c} \right )^2-\frac{3}{4}(a+b)^2\geq \frac{9}{2}\left ( \frac{(a+b)^2}{\frac{(a+b)^2}{2}+(a+b)c} \right )-\frac{3}{4}(a+b)^2\)
    \(\Rightarrow P\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{(1-c)^2}{\frac{(1-c)^2}{2}+(1-c)} \right )-\frac{3}{4}(1-c)^2=\frac{8}{9}\left ( \frac{1-c}{1+c} \right )^2-\frac{3}{4}(1-c)^2\)
    Ta có \(\frac{9}{8}\left ( \frac{1-c}{1+c} \right )^2-\frac{8}{9}(1-\frac{2}{1+c})^2-\frac{3}{4}(1-c)^2\)
    \(\Rightarrow P\geq \frac{8}{9}(1-\frac{2}{1+c})^2-\frac{3}{4}(1-c)^2\)
    Theo giả thiết a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1 \(\Rightarrow c\in (0;1)\)
    Xét hàm số \(f(c)=\frac{8}{9}\left ( 1-\frac{2}{1+c} \right )^2-\frac{3}{4}(1-c)^2\)
    Ta có \(f'(c)=\frac{16}{9}\left ( 1-\frac{2}{c+1} \right )\frac{2}{(c+1)^2}-\frac{3}{2}(c-1)\)
    \(f'(c)=0\Leftrightarrow \frac{32}{9}(c-1)\left ( \frac{1}{c+1}-\frac{27}{64} \right )=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{3}\) vì \(c\in (0;1)\)
    Bảng biến thiên

    Từ BBT \(\Rightarrow f(c)\geq -\frac{1}{9},\forall c\in (0;1)\). Do đó \(P\geq -\frac{1}{9}\)
    Vậy \(MinP=-\frac{1}{9}\)  giá trị nhỏ nhất đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

      bởi Lê Nhật Minh 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12