Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{x^2}{2x^2+2yz+1}+\frac{y^2}{2y^2+2xz+1}+\sqrt{x+y}\)

Ta có \(2yz+1=x^2+y^2+z^2+2yz=x^2+(y+z)^2\geq 2x(y+z)\)
Suy ra \(2x^2+2yz+1\geq 2x^2+2x(y+z)=2x(x+y+z)\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2x^2+2yz+1}\leq \frac{1}{2}\frac{x}{x+y+z}\)
Tương tự \(\frac{y^2}{2y^2+2xz+1}\leq \frac{1}{2}\frac{y}{x+y+z}+\sqrt{x+y}\)
\(P\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{x+y}{x+y+z} \right )+\sqrt{x+y}=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{z}{x+y+z} \right )+\sqrt{x+y}\)
Ta có \(x+y\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}=\sqrt{2(1-z)^2}=\sqrt{2-2z^2}\)
Suy ra \(P\leq \frac{1}{2}\left ( 1-\frac{z}{\sqrt{2-2z^2}+z} \right )+\sqrt[4]{2-2z^2}\)
Xét hàm số \(f(z)=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{z}{\sqrt{2-2z^2}+z} \right )+\sqrt[4]{2-2z^2}\) trên [0;1]
\(f'(z)=-\frac{1}{\sqrt{2-2z^2}(\sqrt{2-2z^2}+z)^2}-\frac{z}{\sqrt[4]{(4-2z^2)^3}}<0\) với \(\forall c\in (0;1)\)
Do hàm số liên tục trên [0;1], nên f(z) nghịch biến trên [0;1]
Suy ra \(P\leq f(z)\leq f(0)=\frac{1}{2}+\sqrt[4]{2}\). Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}},z=0\)
Vậy GTLN của P là \(\frac{1}{2}+\sqrt[4]{2}\) đạt được khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}},z=0\)