RANDOM
AMBIENT
Banner-Video
VIDEO

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{x^2}{2x^2+2yz+1}+\frac{y^2}{2y^2+2xz+1}+\sqrt{x+y}\)

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x2+y2+z2=1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{x^2}{2x^2+2yz+1}+\frac{y^2}{2y^2+2xz+1}+\sqrt{x+y}\)

  bởi Nguyen Ngoc 06/02/2017
ADSENSE
QUẢNG CÁO

Câu trả lời (1)

  • Ta có \(2yz+1=x^2+y^2+z^2+2yz=x^2+(y+z)^2\geq 2x(y+z)\)
    Suy ra \(2x^2+2yz+1\geq 2x^2+2x(y+z)=2x(x+y+z)\)
    \(\Rightarrow \frac{x^2}{2x^2+2yz+1}\leq \frac{1}{2}\frac{x}{x+y+z}\)
    Tương tự \(\frac{y^2}{2y^2+2xz+1}\leq \frac{1}{2}\frac{y}{x+y+z}+\sqrt{x+y}\)
    \(P\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{x+y}{x+y+z} \right )+\sqrt{x+y}=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{z}{x+y+z} \right )+\sqrt{x+y}\)
    Ta có \(x+y\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}=\sqrt{2(1-z)^2}=\sqrt{2-2z^2}\)
    Suy ra \(P\leq \frac{1}{2}\left ( 1-\frac{z}{\sqrt{2-2z^2}+z} \right )+\sqrt[4]{2-2z^2}\)
    Xét hàm số \(f(z)=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{z}{\sqrt{2-2z^2}+z} \right )+\sqrt[4]{2-2z^2}\) trên [0;1]
    \(f'(z)=-\frac{1}{\sqrt{2-2z^2}(\sqrt{2-2z^2}+z)^2}-\frac{z}{\sqrt[4]{(4-2z^2)^3}}<0\) với \(\forall c\in (0;1)\)
    Do hàm số liên tục trên [0;1], nên f(z) nghịch biến trên [0;1]
    Suy ra \(P\leq f(z)\leq f(0)=\frac{1}{2}+\sqrt[4]{2}\). Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}},z=0\)
    Vậy GTLN của P là \(\frac{1}{2}+\sqrt[4]{2}\) đạt được khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}},z=0\)

      bởi Nguyễn Quang Thanh Tú 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy

 

 
 

Các câu hỏi có liên quan

YOMEDIA