OPTADS360
ATNETWORK
RANDOM
ON
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+3ab-a^2-b^2\)

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Cho 2 số thực \(a,b(a,b \in (0;1))\)và thỏa mãn: \((a^3+b^3)(a+b)=ab(1-a)(1-b)\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+3ab-a^2-b^2\)

  bởi thùy trang 07/02/2017
AMBIENT-ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • \(gt\Leftrightarrow \frac{(a^3+b^3)(a+b)}{ab}=(1-a)(1-b)(*)\)
    vì \(\frac{(a^3+b^3)(a+b)}{ab}=\left ( \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} \right )(a+b)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4ab\)
    \((1-a)(1-b)=1-(a+b)+ab\leq 1-2\sqrt{ab}+ab\), khi đó từ (*) suy ra
    \(4ab\leq 1-2\sqrt{ab}+ab\), đặt t=ab (đk t > 0)
    ta được: \(4t\leq 1-2\sqrt{t}+t\Leftrightarrow 2\sqrt{t}\leq 1-3t\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0< t\leq \frac{1}{3}\\ 4t\leq (1-3t)^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 0< t\leq \frac{1}{9}\)
    Ta có: \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\leq \frac{2}{1+ab}\)
    \(\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{1+a^2} -\frac{1}{1+ab} \right )+\left ( \frac{1}{1+b^2} -\frac{1}{1+ab} \right )\leq 0\)
    \(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(ab-1)}{(1+ab)(1+a^2)(1+b^2)}\leq 0\) luôn đúng với mọi \(a,b \in (0;1)\)
    dấu "=" xảy ra khi a = b
    vì \(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}\leq \sqrt{2\left ( \frac{1}{1+a^2}+ \frac{1}{1+b^2} \right )}\leq \sqrt{2.\frac{2}{1+ab}}=\frac{2}{\sqrt{1+ab}}\)
    và \(3ab-a^2-b^2=ab-(a-b)^2\leq ab\) 
    nên \(P\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}+ab=\frac{2}{\sqrt{1+t}}+t\)
    Xét hàm số \(f(t)=\frac{2}{\sqrt{1+t}}+t\) với \(0<t\leq \frac{1}{9}\)
     có \(f'(t)=1-\frac{1}{(1+t)\sqrt{1+t}}> 0, \ \forall \ 0< t\leq \frac{1}{9}\)
    \(\Rightarrow f(t)\leq f(\frac{1}{9})=\frac{6}{\sqrt{10}}+\frac{1}{9}\), dấu "=" xảy ra \(\left\{\begin{matrix} a=b\\ t=ab=\frac{1}{9} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{3}\)
    Vậy GTLN của P là \(\frac{6}{\sqrt{10}}+\frac{1}{9}\) đạt được tại \(a=b=\frac{1}{3}\)

      bởi hai trieu 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12