OPTADS360
ATNETWORK
RANDOM
ON
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Thực hiện tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường sau: \(\displaystyle y = \frac{1}{{1 + {x^2}}},y = \frac{1}{2}\)

  bởi Nguyễn Lệ Diễm 25/04/2022
AMBIENT-ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  • Ta có: \(\displaystyle  \frac{1}{{1 + {x^2}}} = \frac{1}{2}\)\(\displaystyle   \Leftrightarrow 1 + {x^2} = 2\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

    Diện tích: \(\displaystyle  S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right|dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \)

    Dễ thấy hàm số \(\displaystyle  y = \frac{1}{{{x^2} + 1}} - \frac{1}{2}\) là hàm số chẵn nên \(\displaystyle  S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \) \(\displaystyle   = 2\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \)

    Xét \(\displaystyle  I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}}  - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {dx} \) \(\displaystyle   = J - \frac{1}{2}\) với \(\displaystyle  J = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} \)

    Đặt \(\displaystyle  x = \tan t \Rightarrow dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\) \(\displaystyle   \Rightarrow J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + {{\tan }^2}t}}{{1 + {{\tan }^2}t}}dt}  = \frac{\pi }{4}\)\(\displaystyle   \Rightarrow I = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\)

    Vậy \(\displaystyle  S = 2I = 2.\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - 1\).

      bởi thu trang 26/04/2022
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF