Cho Parabol \(y = {{{x^2}} \over 2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt2\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.

bởi Hữu Trí

05/05/2021

QUẢNG CÁO

Câu trả lời (1)

Đường tròn đã cho có phương trình: \({x^{2}} + {\rm{ }}{y^2} = {\rm{ }}8.\)

Từ đó ta có: \(y = \pm \sqrt {8 - {x^2}} \)

Tọa độ giao điểm của \((C)\) và \((P)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
{x^2} = 2y \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{y^2} + 2y - 8 = 0 \hfill \cr
{x^2} = 2y \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \begin{array}{l} y = 2\;\;\left( {tm} \right)\\y = - 4\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \hfill \cr x^2=2y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{y = 2 \hfill \cr x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\)

Gọi \(S_1\) và \(S_2\) là diện tích hai phần của đường tròn được chia bởi parabol \((P)\) như hình vẽ.

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx} - \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{{x^2}}}{2}dx} \\ = {I_1} - {I_2}\end{array}\)

Tính \({I_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx} \)

Đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = 2\sqrt 2 {\mathop{\rm costdt}\nolimits} \)

Đổi cận:

\(\eqalign{
& x = -2 \Rightarrow t = -{\pi \over 4} \cr
& x = 2 \Rightarrow t = {\pi \over 4} \cr} \)

\(\begin{array}{l}{I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} .2\sqrt 2 \cos tdt} \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {8\left( {1 - {{\sin }^2}t} \right)} .2\sqrt 2 \cos tdt} \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {8{{\cos }^2}t} .2\sqrt 2 \cos tdt} \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {2\sqrt 2 \cos t.2\sqrt 2 \cos tdt} \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {8{{\cos }^2}tdt} \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {8.\frac{{1 + \cos 2t}}{2}dt} \\ = 4\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \\ = 4\left. {\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\\ = 4\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{\sin \frac{\pi }{2}}}{2} + \frac{\pi }{4} - \frac{{\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}}{2}} \right)\\ = 2\pi + 4\end{array}\)

Tính \({I_2} = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{{x^2}}}{2}dx} \)

\(\begin{array}{l}{I_2} = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{{x^2}}}{2}dx} = \frac{1}{2}.\left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_{ - 2}^2\\ = \frac{1}{2}\left( {\frac{8}{3} - \frac{{ - 8}}{3}} \right) = \frac{8}{3}\end{array}\)

Do đó \({S_1} = {I_1} - {I_2} = 2\pi + 4 - \frac{8}{3} = 2\pi + \frac{4}{3}\)

Diện tích hình tròn là: \(\pi R^2=8\pi\)

\({S_2} = 8\pi - {S_1}\)\(= 8\pi-2\pi - {4 \over 3}=6\pi-{4\over 3}.\)

Vậy \({{{S_2}} \over {{S_1}}} = \frac{{6\pi - \frac{4}{3}}}{{2\pi + \frac{4}{3}}} = \frac{{18\pi - 4}}{{6\pi + 4}} = {{9\pi - 2} \over {3\pi + 2}}\) hay \(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{{3\pi + 2}}{{9\pi - 2}}\)

bởi Tra xanh 06/05/2021

Like (0) Báo cáo sai phạm