RANDOM
AMBIENT
Banner-Video
VIDEO

Cho a b, là các số thực không âm thỏa mãn: \(2(a^2+b^2)+(a+b)=6\)

Cho a b, là các số thực không âm thỏa mãn: \(2(a^2+b^2)+(a+b)=6\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
\(P=6\left ( \frac{a^2+1}{a^2+a} +\frac{b^2+1}{b^2+b}\right )+\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)^2+5}}\)

  bởi Hương Lan 08/02/2017
ADSENSE
QUẢNG CÁO

Câu trả lời (1)

  • - Theo BĐT Côsi: \(2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\)
     Từ giả thiết, suy ra: 
    \((a+b)^2+(a+b)-6\leq 0\Leftrightarrow (a+b-2)(a+b+3)\leq 0\)
    \(\Rightarrow 0<a+b\leq 2(Do \ \ a,b>0)\)
    - Ta chứng minh: \(\frac{2(b^2+1)}{a^2+a}\geq 3-a \ (*)\)
    Thật vậy: \((*)\Leftrightarrow 2(a^2+1)\geq (a^2+a)(3-a)\Leftrightarrow (a-1)^2(a+2)\geq 0\) (luôn đúng)
    Dấu "=" ⇔ a = 1
    - Tương tự có: \(\frac{2(b^2+1)}{b^2+b}\geq 3-b\). Dấu "=" ⇔ b = 1

    \(\Rightarrow P\geq 3(6-a-b)+\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)^2+5}}\). Đặt \(t=a+b\Rightarrow 0<t\geq 2\)
    - Khi đó: \(P\geq -3t+\frac{t}{\sqrt{t^2+5}}+18,t\in (0;2]\)
    - Xét hàm \(f(t)=-3t+\frac{t}{\sqrt{t^2+5}}+18,t\in (0;2]\)
    \(f'(t)=-3+\frac{5}{\sqrt{(t^2+5)^3}}<0,\forall t\in (0;2]\Rightarrow f(t)\) nghịch biến trên \((0;2]\)
    \(\Rightarrow f(t)\geq f(2)=\frac{38}{3}\); Dấu "=" ⇔ t = 1
    Từ (1) và (2), suy ra \(P\geq \frac{38}{3}\). Dấu "="\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b\\ a+b=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1\)
    Vậy \(P_{min}=\frac{38}{3}\) khi a = b = 1

      bởi Nguyễn Thị Thúy 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy

 

 
 

Các câu hỏi có liên quan

YOMEDIA