Cho a, b, c là các số thực không âm và thỏa mãn: ab + bc + ca = 1

Ta có:

\(\frac{a^{2}+bc}{ab+ac}+1\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}+bc}{ab+ac}}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{ab+ac}{a^{2}+bc}}\geq \frac{2a(b+c)}{(a+b)(a+c)}\)

\(\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{(b+c)(a^{2}+bc)}}\geq \frac{2a}{(a+b)(a+c)}\; \; \; (1)\)

Tương tự ta cũng sẽ có: \(\sqrt{\frac{b}{(a+c)(b^{2}+ac)}}\geq \frac{2b}{(c+b)(a+b)}\; \; \; (2)\)

Từ (1) và (2) ta sẽ có:

\(P\geq \frac{1}{4}\left [ \frac{2a}{(a+b)(a+c)}+\frac{2b}{(c+b)(a+b)} \right ]+\frac{a^{2}+1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{c}{ab} \right )\)

\(=\frac{1}{4}.\frac{4ab+2ac+2bc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{(a^{2}+1)(b+c)}{4ab}\)

Mặt khác ta có a, b, c là các số không âm và ab + bc + ca = 1. Nên ta sẽ có:

\(\frac{(a^{2}+1)(b+c)}{4ab}=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{4ab}\geq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{4ab+2c(a+b)}\)

Từ đây ta sẽ có: \(P\geq \frac{1}{4}.\frac{4ab+2ac+2bc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{4ab+2c(a+b)}\overset{AM-GM}{\geq} 1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} \frac{a^{2}+bc}{ab+ac}=1\\ \frac{b^{2}+ac}{ab+bc}=1 \\ ab+bc+ca=1 \\ c=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=1\\ c=0 \end{matrix}\right..\)