ADMICRO
AMBIENT
Banner-Video
VIDEO

Cho a, b, c là các số thực không âm và thỏa mãn: ab + bc + ca = 1

Cho a, b, c là các số thực không âm và thỏa mãn: ab + bc + ca = 1. Tìm GTNN của biểu thức:

\(P=\sqrt{\frac{a}{16(b+c)(a^{2}+bc)}}+\sqrt{\frac{b}{16(a+c)(b^{2}+ac)}}+\frac{a^{2}+1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{c}{ab} \right )\)

  bởi Nhat nheo 08/02/2017
ADSENSE
QUẢNG CÁO

Câu trả lời (1)

  • Ta có:

    \(\frac{a^{2}+bc}{ab+ac}+1\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}+bc}{ab+ac}}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{ab+ac}{a^{2}+bc}}\geq \frac{2a(b+c)}{(a+b)(a+c)}\)

    \(\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{(b+c)(a^{2}+bc)}}\geq \frac{2a}{(a+b)(a+c)}\; \; \; (1)\)

    Tương tự ta cũng sẽ có: \(\sqrt{\frac{b}{(a+c)(b^{2}+ac)}}\geq \frac{2b}{(c+b)(a+b)}\; \; \; (2)\)

    Từ (1) và (2) ta sẽ có:

    \(P\geq \frac{1}{4}\left [ \frac{2a}{(a+b)(a+c)}+\frac{2b}{(c+b)(a+b)} \right ]+\frac{a^{2}+1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{c}{ab} \right )\)

    \(=\frac{1}{4}.\frac{4ab+2ac+2bc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{(a^{2}+1)(b+c)}{4ab}\)

    Mặt khác ta có a, b, c là các số không âm và ab + bc + ca = 1. Nên ta sẽ có:

    \(\frac{(a^{2}+1)(b+c)}{4ab}=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{4ab}\geq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{4ab+2c(a+b)}\)

    Từ đây ta sẽ có: \(P\geq \frac{1}{4}.\frac{4ab+2ac+2bc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{4ab+2c(a+b)}\overset{AM-GM}{\geq} 1\)

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} \frac{a^{2}+bc}{ab+ac}=1\\ \frac{b^{2}+ac}{ab+bc}=1 \\ ab+bc+ca=1 \\ c=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=1\\ c=0 \end{matrix}\right..\)

      bởi Van Tho 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy

 

 
 

Các câu hỏi có liên quan

YOMEDIA