Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Vì y'=0 tại vô hạn điểm nên ta chưa thể kết luận hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Ta sẽ chứng minh hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) bằng định nghĩa.

Với \(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{R},\text{ }{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\), khi đó luôn tồn tại khoảng (a;b) chứa \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)

Do y'=0 tại hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) \(\Rightarrow y({{x}_{1}})>y({{x}_{2}})\Rightarrow \) hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Chú ý:

- Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa hàm lượng giác chúng ta cần lưu ý là đạo hàm của hàm số có thể triệt tiêu tại vô hạn điểm. Khi đó để xét tính đơn điệu của hàm số trên TXĐ, ta sẽ chuyển về xét tính đơn điệu trên một khoảng chứa hữu hạn điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu.

- Đối với hàm đa thức nếu tất cả các hệ số không đồng thời bằng 0 thì nó chỉ triệt tiêu tại hữu hạn điểm.

Ví dụ . Chứng minh rằng hàm số : \(y=\cos 2x-2x+3\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=-2\sin 2x-2=-2\left( 1+\operatorname{s}\text{in2}x \right)\le 0,\mathsf{ }\forall x\in \mathbb{R}\) và y'=0 khi \(x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\mathsf{ }k\in \mathbb{Z}\). Vì y'=0 tại vô hạn điểm nên chưa thể kết luận hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

Với \(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{R}\) và \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\), khi đó luôn tồn tại khoảng \(\left( a;b \right)\) chứa \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\). Do y'=0 tại hữu hạn điểm trên khoảng \(\left( a;b \right)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( a;b \right)\) khi đó \(y\left( {{x}_{1}} \right)>y\left( {{x}_{2}} \right)\Rightarrow \) hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1. \(y=2\sin x+\cos 2x\) với \(x\in \left[ 0;\pi  \right]\).

2. \(y=\sin 2x-2\cos x-2x\) với \(x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\).

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số \(y=\sin 2x-2x+1\) luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Bài 3: Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{3}\sin x-\cos x+2x-1\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Bài 4: Tìm m để hàm số \(y=2x+m\sin x-1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Bài 5: Tìm m để hàm số \(y=2\cos 2x+mx-3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Bài 6: Tìm tham số m để hàm số: \(y=mx+\sin x+\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{9}\sin 3x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1. Hàm số đã cho xác định trên đoạn \(\left[ 0;\pi  \right]\)

Ta có: \(y'=2\cos x\left( 1-2\sin x \right)\).

Ta cần tìm nghiệm của phương trình y'=0 trên khoảng \(\left( 0;\pi  \right)\)

\(y'=0\Leftrightarrow x\in \left( 0;\pi \right):\mathsf{ }\left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & \sin x=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2},x=\frac{\pi }{6},x=\frac{5\pi }{6}\).

Dựa vào bảng biến thiên suy ra : hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{6} \right)\) và \(\left( \frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{6} \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2} \right)\) và \(\left( \frac{5\pi }{6};\pi  \right)\)

2. Hàm số đã cho xác định trên khoảng \(\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\)

Ta có: \(y'=2\cos 2x+2\sin x-2=2\left( 1-2{{\sin }^{2}}x \right)+2\sin x-2\)

\(y'=-2\sin x\left( 2\sin x-1 \right)\)

Trên khoảng  \(\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\): y'=0

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) \\ & -2\sin x\left( 2\sin x-1 \right)=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\frac{\pi }{6} \\ \end{align} \right.\)

Hàm số giảm trên các khoảng \(\left( -\frac{\pi }{2};0 \right), \left( \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2} \right)\) và tăng trên khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{6} \right)\)

Bài 2

Ta có: \(y'=2\cos 2x-2=2(\cos 2x-1)\le 0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\)

Và \(y'=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z}\)

Vì y'=0 tại vô hạn điểm nên ta chưa thể kết luận hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Ta sẽ chứng minh hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) bằng định nghĩa.

Với \(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{R},\text{ }{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\), khi đó luôn tồn tại khoảng (a;b) chứa \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)

Do y'=0 tại hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) \(\Rightarrow y({{x}_{1}})>y({{x}_{2}})\Rightarrow \) hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Bài 3: Ta có: \(y'=\sqrt{3}\cos x+\sin x+2=2\cos \left( x-\frac{\pi }{6} \right)+2\ge 0\). Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Bài 4: Ta có: \(y'=2+m\cos x\)

* Nếu \(-2

* Với \(\left| m \right|>2\), khi đó y' nhận cả giá trị âm lẫn dương trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số không thể đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Vậy \(|m|\le 2\) là những giá trị cần tìm.

Bài 5: Ta có: \(y'=-4\sin 2x+m\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0\Leftrightarrow m\ge 4\sin 2x\text{  }\forall x\in \mathbb{R}\), tìm được \(m\ge 4\)

Bài 6: Ta có \(y'=m+\cos x+\tfrac{1}{2}\cos 2x+\tfrac{1}{3}\cos 3x\). Hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow m+\cos x+\tfrac{1}{2}\cos 2x+\tfrac{1}{3}\cos 3x,\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow m\ge -\tfrac{4}{3}{{t}^{3}}-{{t}^{2}}+\tfrac{1}{2}=g\left( t \right),\forall t\in \left[ -1,1 \right]\) với \(t=\cos x,t\in \left[ -1,1 \right]\)

Bài toán trở thành tìm m để tồn tại \(m\ge \underset{x\in \left[ -1,1 \right]}{\mathop{max}}\,g\left( t \right)\)

\(g'\left( t \right)=-4{{t}^{2}}-2t=-2t\left( 2t+1 \right)\Rightarrow g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-\tfrac{1}{2},t=0\)

Lập bảng biến thiên ta thấy \(\underset{x\in \left[ -1,1 \right]}{\mathop{max}}\,g\left( t \right)=g\left( -1 \right)=\tfrac{5}{6}\Rightarrow m\ge \tfrac{5}{6}\)

 

Trên đây là toàn bộ nội dung Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số trên tập xác định

• Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số chứa giá trị tuyệt đối, chứa căn thức

Chúc các em học tập tốt!