Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng \({\bf{K}} = \left( { - \infty ;\alpha } \right)\), \(\left( {\beta ; + \infty } \right)\), \(\left( { - \infty ;\alpha } \right],\) \(\left[ {\beta ; + \infty } \right)\)

Chú ý 1:

• Hàm số \(y=f\left( x,m \right)\) tăng trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{min}}\,\text{ }y'\ge 0\).

• Hàm số \(y=f\left( x,m \right)\) giảm trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\le 0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{max}}\,\text{ }y'\le 0\).

Chú ý 2:  Đặt \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\mathsf{ }\left( a\ne 0 \right)\).

• \(f\left( x \right)=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn : \({{x}_{1}}<\alpha <{{x}_{2}}\). Đặt \(t=x-\alpha \), khi đó \(g\left( t \right)=f\left( t+\alpha  \right)\). Bài toán trở thành \(g\left( t \right)=0\) có hai nghiệm trái dấu tức \({{t}_{1}}<0<{{t}_{2}}\Leftrightarrow P<0\).

• \(f\left( x \right)=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn : \({{x}_{1}}\le {{x}_{2}}<\alpha \). Đặt \(t=x-\alpha\), khi đó \(g\left( t \right)=f\left( t+\alpha  \right)\). Bài toán trở thành \(g\left( t \right)=0\) có hai nghiệm cùng âm nghĩa là \({{t}_{1}}\le {{t}_{2}}<0\Leftrightarrow \Delta \ge 0,\mathsf{ }S<0,\mathsf{ }P>0\).

• \(f\left( x \right)=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn \(\beta <{{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\). Đặt \(t=x-\beta \), khi đó \(g\left( t \right)=f\left( t+\beta  \right)\). Bài toán trở thành \(g\left( t \right)=0\) có hai nghiệm cùng dương nghĩa là \(0<{{t}_{1}}\le {{t}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0,\mathsf{ }S>0,\mathsf{ }P>0\).

•  Để ý \(f\left( x \right)=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn:

\({{x}_{1}}<\alpha <{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-\alpha  \right)\left( {{x}_{2}}-\alpha  \right)<0\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}-\alpha \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{\alpha }^{2}}<0\)

\(\alpha < {x_1} < {x_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ {x_1} + {x_2} > 2\alpha \\ \left( {{x_1} - \alpha } \right)\left( {{x_2} - \alpha } \right) > 0 \end{array} \right.\)

\({x_1} < {x_2} < \alpha \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ {x_1} + {x_2} < 2\alpha \\ \left( {{x_1} - \alpha } \right)\left( {{x_2} - \alpha } \right) > 0 \end{array} \right.\)

\(\alpha < {x_1} < {x_2} < \beta \Leftrightarrow \Delta > 0,1{ }2\alpha < {x_1} + {x_2} < 2\beta ,{ }\left( {{x_1} - \alpha } \right)\left( {{x_2} - \alpha } \right) > 0,{ }\)\(\left( {{x_1} - \beta } \right)\left( {{x_2} - \beta } \right) > 0\)

Ví dụ: Cho hàm số \(y=\frac{(m+1){{x}^{2}}-2mx+6m}{x-1}\,\,\). Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: 1. Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó; 2. Đồng biến trên khoảng \(\left( 4;+\infty  \right)\)

Lời giải.

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

1. Xét hai trường hợp.

TH1: Khi \(\text{m}=-\text{1}\), ta có hàm số \(y=\frac{2x-6}{x-1}\) và  \(y'=\frac{4}{{{(x-1)}^{2}}}\) > 0 với mọi \(\text{x}\in D\)

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định .

Vậy, \(\text{m}=-\text{1}\) thỏa yêu cầu bài toán.

TH2: Khi \(\text{m}\ne -\text{1}\), ta có \(y'=\frac{(m+1){{x}^{2}}-2(m+1)x-4m}{{{(x-1)}^{2}}}\)

Đặt \(g(x)=(m+1){{x}^{2}}-2(m+1)x-4m\) và ta có y' cùng dấu với g(x)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định \(\Leftrightarrow \forall x\in D,\,y'\ge 0\Leftrightarrow \forall x\in D\,,\,g(x)\ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = {(m + 1)^2} + 4m(m + 1) \le 0\\ m + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (m + 1)(5m + 1) \le 0\\ m > - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m \le - \frac{1}{5}\)

Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là \(\left[ -1;-\frac{1}{5} \right]\)

2. Theo câu trên \(\text{m}=-\text{1}\) thỏa mãn đề bài.

Với \(\text{m}\ne -\text{1}\) Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 4;+\infty  \right) \Leftrightarrow \forall x\in (4;+\infty )\,,\,g(x)\ge 0 \Leftrightarrow \forall x\in (4;+\infty )\,,\,\frac{2x-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-2x-4}\le m \,(do\,\,{{x}^{2}}-2x-4>0\,\,\forall x\in (4;+\infty ))\)

Xét hàm \(\text{h}\left( \text{x} \right)=\frac{2x-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-2x-4}\), khi đó (1) \(\Leftrightarrow \forall x\in (4;+\infty )\,,\,h(x)\le m\) ta lập bảng biến thiên của \(\text{h}\left( \text{x} \right)\) trên \((4;+\infty )\).

\(h'(x)=\frac{8x-8}{{{({{x}^{2}}-2x-4)}^{2}}}>0\,\,\forall x\in (4;+\infty ).\)

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( \frac{2}{x}-1 \right)}{{{x}^{2}}\left( 1-\frac{2}{x}-\frac{4}{{{x}^{2}}} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{2}{x}-1}{1-\frac{2}{x}-\frac{4}{{{x}^{2}}}}=-1.\)

Dựa vào bảng biến thiên của \(\text{h}\left( \text{x} \right)\) suy ra \(\forall x\in (4;+\infty )\,\,,\,\,h(x)\le m\Leftrightarrow -1\le m\).

Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là \([-1;+\infty )\).

Bài 1: Định m để hàm số :

1. \(y=\frac{2x-1}{x-m}\) nghịch biến trên \((2;+\infty )\)

2. \(y=\frac{mx+4}{x+m}\) nghịch  biến trên khoảng \(\left( -\infty ;1 \right)\)

3. \(y=\frac{2{{x}^{2}}-3x+m}{x-1}\) đồng biến trên khoảng \((-\infty ;-1)\)

4. \(y=\frac{{{x}^{2}}-2mx+3{{m}^{2}}}{2m-x}\) nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;1)\)

5. \(y=\frac{{{x}^{2}}+5x+{{m}^{2}}+6}{x+3}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 1;+\infty  \right)\)

6. \(y=\frac{m{{x}^{2}}+6x-2}{x+2}\) nghịch  biến trên nửa khoảng \(\left[ 1;+\infty  \right)\)

Bài 2: Định m để hàm số :

1. \(y={{x}^{3}}+(1-2m){{x}^{2}}+(2-m)x+m+2\) đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\)

2. \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-mx-4\) đồng biến trên khoảng \((-\infty ;0)\).

3. \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-m{{x}^{2}}+(1-2m)x-1\) đồng biến trên \(\left( 1;+\infty  \right)\)

4. \(y={{x}^{3}}-(m+1){{x}^{2}}-(2{{m}^{2}}-3m+2)x+m(2m-1)\) đồng biến trên \(\left[ 2;+\infty  \right)\)

5. \(y=\frac{1}{3}m{{x}^{3}}+2\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x-2013\) đồng biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty  \right)\)

6. \(y={{x}^{3}}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}-\left( 2{{m}^{2}}-3m+2 \right)x+2013m\left( 2m-1 \right)\) đồng biến trên nửa \(\left[ 2;+\infty  \right)\)

Bài 3: Định m để hàm số :

1. \(y=2{{\text{x}}^{3}}-3(2m+1){{x}^{2}}+6m(m+1)x+1\) đồng biến trên khoảng \((2;+\infty )\)

2. \(y={{x}^{3}}+(m-1){{x}^{2}}-(2{{m}^{2}}+3m+2)x\) nghịch biến trên \((2;+\infty )\)

3. \(y=\frac{1}{3}({{m}^{2}}-1){{x}^{3}}+(m-1){{x}^{2}}-2x+1 (m\ne \pm 1)\) nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;2)\)

4. \(y=\frac{1}{3}m{{x}^{3}}-(m-1){{x}^{2}}+3(m-2)x+1\) đồng biến trên \((2;+\infty )\).

5. \(y=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+4\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty  \right)\).

6. \(y=2{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+mx-1\) đồng biến trên khoảng \(\left( 1;+\infty  \right)\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết của phần đáp án vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng \({\bf{K}} = \left( { - \infty ;\alpha } \right)\), \(\left( {\beta ; + \infty } \right)\), \(\left( { - \infty ;\alpha } \right],\) \(\left[ {\beta ; + \infty } \right)\). Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định

Chúc các em học tập tốt!