Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\).

Dạng 1: Tìm điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp: Cách 1: Tính số phức \(z\) dựa vào các phép đổi thông thường. Cách 2: - Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;y} \right)\). - Bước 2: Thay \(z = x + yi\) và điều kiện đề bài tìm \(x,y \Rightarrow M\).

Ví dụ: Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(w + 2z = i\) biết \(w = 2 - i\). Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức \(z\).

Giải:

Gọi \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\) biểu diễn số phức \(z\), ta có:

\(2 - i + 2\left( {a + bi} \right) = i \Leftrightarrow \left( {2 + 2a} \right) + \left( {2b - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + 2a = 0\\2b - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( { - 1;1} \right)\).

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức.

Phương pháp: - Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;y} \right)\). - Bước 2: Thay \(z = x + yi\) vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa \(x,y\). - Bước 3: Kết luận: +) Phương trình đường thẳng: \(Ax + By + C = 0\) +) Phương trình đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) +) Phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\) hoặc \(x = a{y^2} + by + c\) +) Phương trình elip: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Ví dụ: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn:\(|z - (3 - 4i)| = 2\).

A. Đường tròn tâm \(I\left( {3, - 4} \right)\) và bán kính R = 2.

B. Đường tròn tâm \(I\left( { - 3,4} \right)\) và bán kính R = 2.

C. Đường tròn tâm \(I\left( {3, - 4} \right)\) và bán kính R = 1.

D. Đường tròn tâm \(I\left( { - 3,4} \right)\) và bán kính R = 1.

Giải:

Giả sử ta có số phức z = a + bi.

Thay vào \(|z - (3 - 4i)| = 2\) có:

\(|a + bi - (3 - 4i)| = 2 \Leftrightarrow |(a - 3) + (b + 4)i| = 2 \)

\(\Leftrightarrow \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {{(b + 4)}^2}}  = 2 \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(b + 4)^2} = 4\).

Chọn đáp án A

Bài 1: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức \(z=x+yi,M\ne 0.\) Xem số phức \(Z=\frac{1}{2}\left( {{z}^{2}}-\frac{1}{{{z}^{2}}} \right).\) Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực.

A. Trục tung (hay trục hoành), không kể điểm O.

B. Trục tung hay trục hoành

C. Đường thẳng y=1

D. Đường thẳng x=1

Lời giải

Trường hợp Z là một số thực \(\Leftrightarrow \) Phần ảo bằng 0.

\(\Leftrightarrow \frac{xy}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}\left[ {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}+1 \right]=0\Leftrightarrow xy=0,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ne 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0,y\ne 0 \\ & y=0,x\ne 0 \\ \end{align} \right.\)

Tập hợp điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z là

Trục tung , không kể điểm O.

Trục hoành, không kể điểm O.

Chọn A.

Bài 2: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức \(z=x+yi,M\ne 0.\) Xem số phức \(Z=\frac{1}{2}\left( {{z}^{2}}-\frac{1}{{{z}^{2}}} \right).\) Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thuần ảo.

A. Đường tròn tâm O, bán kính R=1

B. Đường tròn tâm \(I\left( 0;1 \right)\) bán kính R=1

C. Đường thẳng y=1

D. Đường thẳng x=1

Lời giải

Trường hợp Z là một số thuần ảo \(\Leftrightarrow \) Phần thực bằng 0.

\(\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}-1=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)

Tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R=1.

Chọn A.

Bài 3: Cho \(Z=\frac{1-iz}{1+iz},z\in \mathbb{C}\), z=x+yi với \(x,y\in \mathbb{R}\). Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực.

A. Trục tung ngoại trừ điểm \(A\left( 0;1 \right)\)

B. Trục hoành ngoại trừ điểm \(A\left( 0;1 \right)\)

C. Đường thẳng y=1

D. Đường thẳng x=1

Lời giải

Ta có: \(z=x+yi;x,y\in R\Rightarrow Z=\frac{1-zi}{1+zi}=\frac{1-i\left( x+yi \right)}{1+i\left( x+yi \right)}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow Z=\frac{1-y{{i}^{2}}-xi}{1+y{{i}^{2}}+xi}=\frac{1+y-xi}{1-y+xi}=\frac{\left( 1+y-xi \right)\left( 1-y-xi \right)}{\left( 1-y+xi \right)\left( 1-y-xi \right)} \\ & =\frac{{{\left( 1-xi \right)}^{2}}-{{y}^{2}}}{{{\left( 1-y \right)}^{2}}-{{x}^{2}}{{i}^{2}}}=\frac{1+{{x}^{2}}{{i}^{2}}-2xi-{{y}^{2}}}{{{\left( 1-y \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}=\frac{1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2xi}{{{\left( 1-y \right)}^{2}}+{{x}^{2}}} \\ \end{align}\)

Z là một số thực \(\Leftrightarrow x=0,y\ne 0\)

Ta có \(z=yi,y\ne 1\).

\(\Rightarrow \) Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là trục tung ngoại trừ điểm \(A\left( 1;0 \right).\)

Chọn A.

Bài 4: Cho \(Z=\frac{1-iz}{1+iz},z\in \mathbb{C}$, z=x+yi với \(x,y\in \mathbb{R}\). Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thuần ảo.

A. Đường tròn tâm O, bán kính R=1 ngoại trừ điểm \(A\left( 0;1 \right)\)

B. Đường tròn tâm O, bán kính R=1

C. Đường thẳng y=1

D. Đường thẳng x=1

Lời giải

Số phức Z là một số thuần ảo khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{align} & 1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=0 \\ & {{\left( 1-y \right)}^{2}}+{{x}^{2}}\ne 0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \\ & x\ne 0,y\ne 0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \) Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O, bán kính R=1 ngoại trừ điểm \(A\left( 0;1 \right)\)

Chọn A.

Bài 5: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có mô đun bằng 1.

A. Đường tròn tâm O, bán kính R=1

B. Đường tròn tâm \(O\left( 2;2 \right),\) bán kính R=1

C. Đường thẳng y=1

D. Đường thẳng x=1

Lời giải

Gọi M là điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z=a+bi với \(a,b\in \mathbb{R}\)

Ta có: \(\left| z \right|=1\Leftrightarrow OM=1\)

Tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R=1

Chọn A.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!