Phương pháp giải các bài toán tìm min, max liên quan đến số phức

- Mô đun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \ge 0\)

- Bất đẳng thức Cô-si: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \) với \(x,y > 0\)

- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\)

- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: \(\left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) 

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp: - Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\). - Bước 2: Thay \(z\) và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của \(x,y\). - Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra \(x,y \Rightarrow z\).

Ví dụ: Cho \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1;\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3.\) Tính max\(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)

A. \(8\)

B. \(10\)

C. \(4\)

D. \(\sqrt {10} \)

Giải

Đặt \({z_1} = {x_1} + {y_1}i;{z_2} = {x_2} + {y_2}i.\) \(({x_1},{y_1},{x_2},{y_2} \in R)\). Điều kiện đã cho trở thành

+) \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1\)\( \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i - {x_2} - {y_2}i} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}}  = 1\) 

\( \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 - 2{x_1}{x_2} - 2{y_1}{y_2} = 1\)  (1)

+) \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3 \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i + {x_2} + {y_2}i} \right| = 3\)

\( \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 + 2{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2} = 9\)  (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được \({x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 = 5\)

+) \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2}  + \sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} \)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

\(T = 1.\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2}  + 1.\sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2}  \le \sqrt {\left( {1 + 1} \right).\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2} \right)}  \) 

\( = \sqrt {2.5}  = \sqrt {10} \Rightarrow \) \(\max T = \sqrt {10} .\)

Đáp án D.

Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này. Phương pháp: Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp +) Đường thẳng +) Đường tròn +) Đường elip +) Parabol Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun Số phức \(z = x + yi(x,y \in R)\)  có điểm biểu diễn là \(M(x,y)\). Mô đun của số phức \(z\) là độ dài đoạn thẳng \(OM\) với \(O\) là gốc tọa độ.

Ví dụ: Cho số phức \(z = x + yi\) thỏa mãn \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\) đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính \(N = {x^2} + {y^2}.\)

A. \(N = 8\)

B. \(N = 10\)

C. \(N = 16\)              

D. \(N = 26\)

Giải

Gọi \(M(x,y)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = x + yi\)

+) \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\)\( \Rightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {x^2} + {(y - 2)^2} \Leftrightarrow  - 4x + 4 - 8y + 16 =  - 4y + 4\)

\( \Leftrightarrow 4x + 4y = 16 \Leftrightarrow x + y - 4 = 0\)

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của \(z\) là một đường thẳng \(x + y - 4 = 0\)

+) \(N = {x^2} + {y^2} = {\left| z \right|^2}\)

\( \Rightarrow N\)min\( \Leftrightarrow \left| z \right|\)min\( \Leftrightarrow OM\)min \( \Rightarrow OM \bot d:x + y - 4 = 0\)

\( \Rightarrow M(2,2)\)  \( \Rightarrow N = {2^2} + {2^2} = 8\)

Đáp án A.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp: - Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.

Ví dụ: Cho \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \sqrt 5 .\) Tìm max\(\left| z \right|.\)

A. \(3\sqrt 5 \)

B. \(5\)

C. \(\sqrt 5 \)                                     

D. \(\sqrt {13} \)

Giải

Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.

Ta có: \(\left| z \right| - \left| { - 2 - 4i} \right| \le \left| {z - 2 - 4i} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| - \sqrt {20}  \le \sqrt 5  \Leftrightarrow \left| z \right| \le \sqrt {20}  + \sqrt 5  = 3\sqrt 5 \)

\( \Rightarrow \) max\(\left| z \right| = 3\sqrt 5 \)

Đáp án A.

Bài 1: Tìm số phức z có \(\left| z \right|=1\) và \({{\left| z+i \right|}_{\text{max}}}:\)

A. 1

B. -1

C. i

D. -i

Lời giải

Đặt z=a+bi thì \(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}};\left| z+i \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}}\)

Khi đó ta có: \(\left| z \right|=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1\Rightarrow \left| b \right|\le 1;\left| z+i \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2b+1}=\sqrt{2b+2}\le 2\)

Do đó giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi a=0;b=1;z=i.

Chọn C.

Bài 2: Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=1.\) Tìm số phức z để \(\left| 1+z \right|+3\left| 1-z \right|\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(z=-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i,z=-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i.\)

B. \(z=-\frac{3}{5}i,z=\frac{3}{5}i.\)

C. \(z=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i,z=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i.\)

D. \(z=-\frac{3}{5}i,z=-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i.\)

Lời giải

Giả sử \(z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\)

Vì \(\left| z \right|=1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)

Khi đó:

\(\begin{align} & \left| 1+z \right|+3\left| 1-z \right|=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}} \\ & =\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+1-{{x}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+1-{{x}^{2}}}=\sqrt{2}\left( \sqrt{1+x}+3\sqrt{1-x} \right) \\ \end{align}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt{2}\left( \sqrt{1+x}+3\sqrt{1-x} \right)\) trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) ta có:

\(f'\left( x \right)=\sqrt{2}\left( \frac{1}{2\sqrt{1+x}}-\frac{3}{2\sqrt{1-x}} \right);f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-\frac{4}{5}\)

Ta có: \(f\left( -1 \right)=6;f\left( -\frac{4}{5} \right)=2\sqrt{10}\)

Vậy \({{f}_{\text{max}}}=f\left( -\frac{4}{5} \right)=2\sqrt{10}\Rightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{4}{5} \\ & {{y}^{2}}=1-{{x}^{2}} \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{4}{5};y=-\frac{3}{5} \\ & x=-\frac{4}{5};y=\frac{3}{5} \\ \end{align} \right.\)

Vậy \(z=-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i,z=-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i.\)

Chọn A.

Bài 3: Số phức z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện \(\left| \overline{Z}\left( 1+i \right)-3+2i \right|=\frac{\sqrt{13}}{2}\) là:

A. z=1+3i

B. \(z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}i\)

C. \(z=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\)

D. \(z=\frac{3}{4}+\frac{15}{4}i\)

Lời giải

+ Gọi z=x+yi

Từ giả thiết ta có: \({{\left( x+y-3 \right)}^{2}}+{{\left( x-y+2 \right)}^{2}}=\frac{13}{4}.\)

+ Đồng thời \(\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\) lớn nhất. Kiểm tra các đáp án và so sánh.

Chọn D.

Bài 4: Cho số phức z thảo mãn \(\left| z-4i-2 \right|=4.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|.\)

A. 1

B. 3

C. 7

D. 8

Lời giải

Giả sử z=a+bi ta có: \(\left| a+bi-3+4i \right|=4\Rightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b+4 \right)}^{2}}=16\)

Đặt \(\left\{ \begin{align} & a-3=4\sin \varphi \\ & b+4=4\cos \varphi \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=3+4\sin \varphi \\ & b=4\cos \varphi -4 \\ \end{align} \right.\)

\(\begin{align} & \Rightarrow {{\left| z \right|}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=9+16{{\sin }^{2}}\varphi +24\sin \varphi +16-32\cos \varphi \\ & =41+24\sin \varphi -32\cos \varphi =41+40\left( \frac{3}{5}\sin \varphi -\frac{4}{5}\text{cos}\varphi \right) \\ \end{align}\)

Đặt \(\text{cos}\varphi \text{=}\frac{3}{5},\sin \varphi =\frac{4}{5}\Rightarrow {{\left| z \right|}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=41+40\sin \left( \varphi -\alpha  \right)\ge 1.\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(\varphi -\alpha =-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{2}+\alpha +k2\pi .\)

Vậy \(\min \left| z \right|=1.\)

Chọn A.

Bài 5: Trong các sô phức thỏa điều kiện \(\left| z-4i-2 \right|=\left| 2i-z \right|,\) mô đun nhỏ nhất của số phức z bằng:

A. \(2\sqrt{2}\)

B. 2

C. 1

D. \(3\sqrt{2}\)

Lời giải

Giả sử số phức z=x+yi

Theo đề \(\left| z-4i-2 \right|=\left| 2i-z \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow x+y-4=0\Leftrightarrow y=4-x\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mà \(\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( 4-x \right)}^{2}}}\) (thay \(\left( 1 \right)\) vào)

\(=\sqrt{2{{\left( x-2 \right)}^{2}}+8}\ge 2\sqrt{2.}\)

Chọn A.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp giải các bài toán tìm min, max liên quan đến số phức. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!