Một số dạng toán về Số phức ôn thi THPT quốc gia có đáp án

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC ÔN THI

TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả  mãn i² = -1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi.

i được gọi là đơn vị ảo           

a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a

b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b  

Tập hợp các số phức ký hiệu là C.

*) Một số lưu ý:

- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.

- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

2. Hai số phức bằng nhau.

Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i.

z = z' ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} a = a'\\ b = b' \end{array} \right.\)

3. Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi .

4. Phép cộng và phép trừ các số phức.

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

\(\left\{ \begin{array}{l} z + z' = (a + a') + (b + b')i\\ z - z' = (a - a') + (b - b')i \end{array} \right.\)

5. Phép nhân số phức.

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

\(zz' = aa' - bb' + (ab' - a'b)i\)

6. Số phức liên hợp.

Cho số phức z = a + bi. Số phức \(\overline z \) = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên.

Vậy \(\overline z \) = \(\overline {a + bi} \) = a - bi

Chú ý:  1) \(\overline {\overline z } \) = z ⇒ z và \(\overline z \) gọi là hai số phức liên hợp với nhau.

             2) z. \(\overline z \) = a² + b²

- Tính chất của số phức liên hợp:

(1): \(\overline{\overline z} = z\)

(2): \(\overline {z + z'} = \overline z + \overline {z'} \)

(3): \(\overline {z.z'} = \overline z .\overline {z'} \)

(4): z.\(\overline z \) = \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)(z = a + bi )

7. Môđun của số phức.

Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu |z| là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định như sau:

- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì |z| =\(\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\)= \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

- Nếu z = a + bi, thì |z| =\(\sqrt {z.\overline z } \)= \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

8. Phép chia số phức khác 0.

Cho số phức z = a + bi  ≠ 0 (tức là a²+b² > 0 )

Ta định nghĩa số nghịch đảo  z^-1 của số phức z ≠ 0 là số

z^-1= \(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\overline z = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z \)

Thương \(\frac{{z'}}{z}\) của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:

\(\frac{{z'}}{z} = z.{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\)

Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.

9. Phương trình bậc hai với hệ số thực.

* Cho phương trình bậc hai : \(a{x^2} + bx + c = 0\), có \(\Delta = {b^2} - 4{\rm{a}}c\).

+ Nếu \(\Delta\)> 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

+ Nếu \(\Delta\) = 0, PT có nghiệm kép x₁ = x₂ = \(\frac{{ - b}}{{2a}}\)

+ Nếu \(\Delta\)< 0, PT có 2 nghiệm phức \({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}\)

* Cho phương trình bậc hai : \(a{x^2} + bx + c = 0\).

 Khi b chẵn có b’ = b/2 ; \(\Delta'\) =b’² – ac.

+ Nếu \(\Delta'\)> 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{ - b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}\)

       + Nếu \(\Delta'\)= 0, PT có nghiệm kép x₁ = x₂ = \(\frac{{ - b'}}{a}\)

+ Nếu \(\Delta'\)< 0, PT có 2 nghiệm phức \({x_{1,2}} = \frac{{ - b' \pm i\sqrt {|\Delta '|} }}{a}\)

10. Một số kết quả cần nhớ 

1) i⁰ = 1 ⇒ i⁴ⁿ = 1                                  2)  i¹ = i ⇒ i^{4n + 1} = i

3) i² = - 1 ⇒ i^{4n + 2} = - 1                        4)  i³ = - i ⇒ i^{4n + 3} = - i

5) (1 – i)² = - 2i                                     6)  (1 + i)² = 2i

B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

 

{-- Để xem nội dung đầy đủ của tài liệu các em vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu Một số dạng toán về Số phức ôn thi THPT quốc gia có đáp án. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Chúc các em học tốt!