Bồi dưỡng HSG chuyên đề Bất đẳng thức Toán 8

Chuyên đề bồi dưỡng HSG

BẤT ĐẲNG THỨC

\(\left\{ \begin{array}{l}
A \ge B \Leftrightarrow A - B \ge 0\\
A \le B \Leftrightarrow A - B \le 0
\end{array} \right.\) 

+ A>B \(\Leftrightarrow\) B + A>B và B >C <=>  A > C + A>B \(\Rightarrow \) A + C >B + C + A>B và  C > D => A +C > B + D + A>B và C > 0  => A.C > B.C + A>B và C < 0  => A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C < D => 0 < A.C < B.D

+ A > B > 0   =>  An > Bn  \(\forall n\) + A > B         =>  An > Bn  với n lẻ + \(\left| A \right|\) > \(\left| B \right|\)  => An > Bn  với n chẵn + m > n > 0 và A > 1  => Am > An  + m > n > 0 và 0 =>Am < An  + A < B và A.B > 0  => \(\frac{1}{A}>\frac{1}{B}\)

+ A\(^{2}\) \(\ge \) 0 với \(\forall \)A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+  Aⁿ \(\ge \) 0  với \(\forall \)A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ \(\left| A \right|\ge 0\) với   \(\forall A\)  (dấu = xảy ra khi A = 0 )

+  \(\left| A \right|\) < A = \(\left| A \right|\)

+  \(\left| A+B \right|\ge \left| A \right|+\left| B \right|\)   ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)

+  \(\left| A-B \right|\le \left| A \right|-\left| B \right|\)  ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

Kiến thức :  Để chứng minh A > B  Ta chứng minh A – B > 0

Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức  M\(^{2}\) \(\ge \) 0  với " M

Ví dụ 1   " x, y, z chứng minh rằng :

 a) x\(^{2}\) + y\(^{2}\) + z\(^{2}\) \(\ge \)  xy+ yz + zx

 b) x\(^{2}\) + y\(^{2}\) + z\(^{2}\)\(\ge \) 2xy – 2xz + 2yz

Giải:

a) Ta xét hiệu :  x\(^{2}\) + y\(^{2}\) + z\(^{2}\)- xy – yz – zx  =  \(\frac{1}{2}\).2 .( x\(^{2}\) + y\(^{2}\) + z\(^{2}\)- xy – yz – zx)

=\(\frac{1}{2}\) \(\left[ {{(x-y)}^{2}}+{{(x-z)}^{2}}+{{(y-z)}^{2}} \right]\) \(\ge \) 0 đúng với mọi x;y;z\(\in R\)

Vì (x-y)² \(\ge \)0  với"x ; y .Dấu bằng xảy ra khi x = y

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Lưu ý:

 Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.

Ví dụ 1:  Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng

a) \({{a}^{2}}+\frac{{{b}^{2}}}{4}\ge ab\)       

b)\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\ge ab+a+b\)       

c) \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{e}^{2}}\ge a\left( b+c+d+e \right)\)

Giải:

a) \({{a}^{2}}+\frac{{{b}^{2}}}{4}\ge ab\)\(\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 4ab\)\(\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-4a+{{b}^{2}}\ge 0\) \(\Leftrightarrow {{\left( 2a-b \right)}^{2}}\ge 0\) (Bđt này luôn đúng)

Vậy \({{a}^{2}}+\frac{{{b}^{2}}}{4}\ge ab\)    (dấu bằng xảy ra khi 2a = b)

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

a) Một số bất đẳng thức hay dùng

1)  Các bất đẳng thức phụ:

a) \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy\)         

b) \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge \left| {} \right.xy\left. {} \right|\) dấu( = ) khi x = y = 0

c) \({{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 4xy\)         

d) \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\) 

2)Bất đẳng thức Cô sy: \(\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+....+{{a}_{n}}}{n}\ge {}^{n}\sqrt{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}....{{a}_{n}}}\)  Với  \({{a}_{i}}>0\) 

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

a)  Kiến thức

1) Cho a, b ,c là các số dương thì

a – Nếu  \(\frac{a}{b}>1\)  thì \(\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}\)                   

b – Nếu  \(\frac{a}{b}<1\)  thì \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\)

2) Nếu b,d >0 thì từ  \(\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}\)

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Lưu ý:  Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a; b; c > 0 

Và |b-c| < a < b+c  ; |a-c| < b < a+c    ; |a-b| < c < b+a 

Ví dụ 1: 

Cho a; b; clà số đo ba cạnh của tam giác  chứng minh rằng

a,   a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac)

b,  abc  > (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

6) phương pháp làm trội

Chứng minh BĐT sau :

a) \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1).(2n+1)}<\frac{1}{2}\)

 b) \(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{1.2.3}+...+\frac{1}{1.2.3.....n}<2\)

Giải : 

 a) Ta có  : \(\frac{1}{\left( 2n-1 \right).\left( 2n+1 \right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left( 2k+1 \right)-(2k-1)}{(2k-1).(2k+1)}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1} \right)\)

Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có

\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1).(2n+1)}=\frac{1}{2}.\left( 1-\frac{2}{2n+1} \right)<\frac{1}{2}\)       (đpcm)

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG chuyên đề Bất đẳng thức Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.