Phương pháp quy nạp - Bài tập áp dụng và Vận dụng thực tế đầy đủ nhất

1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC (PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP)

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với \(n=1\).

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n=k\ge 1\). ( Giả thiết quy nạp)

Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n=k+1\).

Bước 4: Kết luận mệnh đề đúng với mọi \(n\in {{N}^{*}}\).

 

• Ví dụ 1: Xét  mệnh đề \(P(n):''1+3+5+.......+(2n-1)={{n}^{2}}''\) với \(n\) là số nguyên dương.

a) Chứng tỏ \(P(1)\) là mệnh đề đúng?

b) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà \(P(k)\) là mệnh đề đúng, cho biết \(1+3+5+.......+(2n-1)\) bằng bao nhiêu.

c)Với k là một số nguyên dương tùy ý mà \(P(k)\) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng \(P(k+1)\) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra \({{k}^{2}}+\left[ 2(k+1)-1 \right]={{(k+1)}^{2}}\).

 

Giải

a) Xét mệnh đề \(P(n):''1+3+5+.......+(2n-1)={{n}^{2}}''\)

Với \(n=1:1=1\) (Đúng).

b) \(n=k:1+3+5+......+2n-1=2k-1\)

\(n=5:{{3}^{5}}<5+100\) mệnh đề sai

c) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà \(P(k)\) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng \(P(k+1)\) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra \({{k}^{2}}+\left[ 2(k+1)-1 \right]={{(k+1)}^{2}}\)

Thật vậy vì \({{k}^{2}}+\left[ 2(k+1)-1 \right]={{k}^{2}}+2k+1={{(k+1)}^{2}}\)

Cách chứng minh trên ta gọi là quy nạp toán học hay phương pháp quy nạp (hay suy luận quy nạp).

 

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG

• Bài tập 1: Chứng minh rằng với \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\) thì \({{A}_{n}}={{n}^{3}}n\text{ }\left( * \right)\) chia hết cho 3.

 

Giải

* Với \(n=1\) ta có \({{A}_{1}}=0\text{ }\vdots 3\)

Vậy (*) đúng với \(n=1\).

* Giả sử (*) đúng với \(n=k(k\ge 1)\), tức là  \({{A}_{k}}=\left( {{k}^{3}}-k \right)\text{ }\vdots 3\)

Ta CM với \(n=k+1\) thì (*) cũng đúng, nghĩa là\({{A}_{k+1}}=\left[ {{\left( k+1 \right)}^{3}}\left( k+1 \right) \right]~\vdots 3\)

Thật vậy, ta có

\({{A}_{k+1}}={{\left( k+1 \right)}^{3}}\left( k+1 \right)\) \(\begin{align} & ={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1-k-1 \\ & =\left( {{k}^{3}}-k \right)+3\left( {{k}^{2}}+k \right)={{A}_{k}}+3\left( {{k}^{2}}+k \right) \\ \end{align}\)

Theo giả thiết, \({{A}_{k}}=\left( {{k}^{3}}-k \right)\text{ }\vdots 3\) và \(3\left( {{k}^{2}}+k \right)\vdots 3\) nên \(({{A}_{k+1}}\vdots 3\)

Do đó (*) đúng với \(n=k+1\).

Vậy (*) đúng với mọi \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

 

• Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\), ta có:\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{n.(n+1)}=\frac{n}{n+1}\) (*)

* Với \(n=1\) thì VT = 1 = VP

Vậy hệ thức đúng với \(n=1\).

* Giả sử đẳng thức  đúng khi \(n=k(k\ge 1)\),đúng

Ta CM với \(n=k+1\) thì đẳng thức cũng đúng, nghĩa là\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{(k+1)\left[ (k+1)+1 \right]}=\frac{k+1}{(k+1)+1}\)

Ta có

\(\begin{align} & \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1} \\ & \Rightarrow \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)\left[ (k+1)+1 \right]}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ & =\frac{{{k}^{2}}+2k+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{{{(k+1)}^{2}}}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}=\frac{k+1}{(k+1)+1} \\ \end{align}\)

Do đó (*) đúng với \(n=k+1\).

Vậy (*) đúng với mọi \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

 

• Bài tập 3. Chứng minh với \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\), ta có:

a) \(2+5+8+...+3n-1=\frac{n\left( 3n+1 \right)}{2}\).                                    

b) \({{n}^{3}}+11n\) chia hết cho 6.

 

Giải

a) + Với \(n=1\) thì VT = 2 = VP. Vậy hệ thức đúng với \(n=1\).

+ Giả sử (a) đúng khi \(n=k(k\ge 1\), tức là \(2+5+8+...+3k-1=\frac{k\left( 3k+1 \right)}{2}\) đúng.

Ta CM với \(n=k+1\) thì (a) cũng đúng, nghĩa là \(2+5+8+...+3\left( k+1 \right)-1=\frac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2}\).

Ta có: \(2+5+8+...+3\left( k+1 \right)-1\)

\(=2+5+8+...+\left( 3k-1 \right)+\left( 3k+2 \right)=\frac{k\left( 3k+1 \right)}{2}+\left( 3k+2 \right)\) \(=\frac{3{{k}^{2}}+7k+4}{2}=\frac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2}\)

Do đó (a) đúng với \(n=k+1\).

Vậy (a) đúng với mọi \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

 

b) Đặt \(P(n)={{n}^{3}}+11n\).

- Khi \(n=1\), ta có \(P(1)=12\vdots 6\). Suy ra mệnh đề đúng với \(n=1\).

- Giả sử mệnh đề đúng khi \(n=k\ge 1\), tức là: \(P(k)={{k}^{3}}+11k\vdots 6\).

- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi \(n=k+1\), tức là chứng minh: \(P(k+1)={{(k+1)}^{3}}+11(k+1)\vdots 6\).

Thật vậy:

\(\begin{array}{l} P(k + 1) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 11k + 11 = {k^3} + 3{k^2} + 14k + 12 = \left( {{k^3} + 11k} \right) + 3({k^2} + k) + 12\\ = P(k) + 3k(k + 1) + 12 \end{array}\)

Mà \(P(k)\vdots 6\), \(3k(k+1)\vdots 6\) (do k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên \(k(k+1)\vdots 2\)) và \(12\vdots 6\) nên \(P(k+1)\vdots 6\)

\(\Rightarrow \) Mệnh đề đúng khi \(n=k+1\).

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

 

• Bài tập 4. Cho tổng \({{S}_{n}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}\) với  \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)

a) Tính \({{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}\).

b) Dự đoán công thức tính \({{S}_{n}}\) và chứng minh bằng qui nạp.

 

Giải

1. \({{S}_{1}}=\frac{1}{1.(1+1)}=\frac{1}{2}\)

            \({{S}_{2}}=\frac{1}{2.(2+1)}=\frac{1}{6}\)

           \({{S}_{3}}=\frac{1}{3.(3+1)}=\frac{1}{12}\text{ }\)

 

2. CM: \({{S}_{n}}=\frac{n}{n+1}\) với  \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\) (*).

* Với n =1 thì \(VT = \frac{1}{2}\) = VP.

Vậy hệ thức đúng với n = 1.

* Giả sử (*) đúng khi \(n=k(k\ge 1)\), tức là \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}\) đúng.

Ta CM với \(n=k+1\) thì (*) cũng đúng, nghĩa là: \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)\left( k+2 \right)}=\frac{k+1}{k+2}\)

Ta có: \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)\left( k+2 \right)}$$=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)\left( k+2 \right)}=\frac{k+1}{k+2}\)

Do đó (*) đúng với n = k+1. Vậy (*) đúng với mọi \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

 

3. VẬN DỤNG THỰC TẾ

Một người gửi số tiền A(đồng) vào ngân hàng với lãi  suất \(r%\)/năm. Biết rằng, nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Chứng minh số tiền nhận được ( bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n năm là \({{T}_{n}}=A{{(1+\frac{r}{100})}^{n}}\) (đồng), nếu trong khoảng thời gian này người gửi không rút ra và lãi suất không thay đổi.

 

Giải

Sau một năm, số tiền vốn và lãi thu được là: \(A+A.\frac{r}{100}=A(1+\frac{r}{100})\) đồng

Vậy với n=1 ta có \({{T}_{1}}=A{{(1+\frac{r}{100})}^{1}}\).

Giả sử đẳng thức đúng với n=k,  ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1

Tức là \({{T}_{k+1}}=A{{(1+\frac{r}{100})}^{k+1}}\)

Thật vậy: Ta có \({{T}_{k}}=A{{(1+\frac{r}{100})}^{k}}\) , sau k (năm) thì số  tiền \({{T}_{k}}=A{{(1+\frac{r}{100})}^{k}}\) trở thành tiền vốn để tính tiền lãi cho năm (k+1). Do đó, số tiền vốn và lãi người đó có được sau k+1 (năm) \({{T}_{k+1}}=A{{(1+\frac{r}{100})}^{k+1}}\) đồng.

Vậy đẳng thức đúng \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\) ta có \({{T}_{k+1}}=A{{(1+\frac{r}{100})}^{k+1}}.\)

 

Trên đây là toàn bộ nội dung Phương pháp quy nạp - Bài tập áp dụng và Vận dụng thực tế đầy đủ nhất. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

<>Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

 

<>Chúc các em học tập thật tốt!