YOMEDIA
AMBIENT

Bồi dưỡng HSG chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8

26/03/2021 348.01 KB 62 lượt xem 0 tải về
Banner-Video
https://m.hoc247.net/docview/viewfile/1.1.114/web/?f=https://m.hoc247.net/tulieu/2021/20210326/800847776723_20210326_114111.pdf?r=1747
ADSENSE
QUẢNG CÁO
Banner-Video

Dưới đây là Bồi dưỡng HSG chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8. Gồm lý thuyết và các bài tập có hướng dẫn giải chi tiết giúp các em ôn tập nắm vững các kiến thức đã học. Các em xem và tải về ở dưới.

 

 

 

 
 

BỒI DƯỠNG HSG CHUYÊN ĐỀ - PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

Định lí bổ sung:

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì \(\frac{{{\rm{f(1)}}}}{{{\rm{a  -  1}}}}\) và \(\frac{{{\rm{f( - 1)}}}}{{{\rm{a  +  1}}}}\) đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

3x2 – 8x + 4 =  3x2 – 6x  – 2x  + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:

3x2 – 8x + 4 =  (4x2 – 8x  + 4)  - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)

= (x – 2)(3x – 2)

Ví dụ 2:   x3 – x2 - 4

Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = \( \pm 1; \pm 2; \pm 4\), chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm  của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta  tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2

Cách 1: 

x3 – x2 – 4 = \(\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right) + \left( {{x^2} - 2x} \right) + \left( {2x - 4} \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right) + x(x - 2) + 2(x - 2)\) = \(\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right)\)  

Cách 2:

\({x^3} - {x^2} - 4 = {x^3} - 8 - {x^2} + 4 = \left( {{x^3} - 8} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right) = (x - 2)({x^2} + 2x + 4) - (x - 2)(x + 2)\)  

= \(\left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - (x + 2)} \right] = (x - 2)({x^2} + x + 2)\) 

...........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ

1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:

Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4  + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2

= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)

= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)

Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4

= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4

= (x4 + 1 + 8x2)2  – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2  + 1)2  - 16x2(x2 – 1)2

= (x4 + 8x2  + 1)2  - (4x3 – 4x )2

= (x4 + 4x3 + 8x2  – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2  + 4x + 1)

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x)  + (x2 + x + 1 ) =  x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )

=  x(x3  - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)

=  (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 –  x+  x- x + 1)

Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2  + x + 1)

= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2  + x + 1)

= (x2  + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2  + x + 1) + (x2  + x + 1)

= (x2  + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2  + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)

..........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

III. ĐẶT BIẾN PHỤ

Ví dụ 1:  x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128

=  (x2 + 10x) + (x2 + 10x  + 24) + 128

Đặt  x2 + 10x + 12 =  y, đa thức có dạng

(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)

=  ( x2 + 10x + 8 )(x2  + 10x  + 16 ) =  (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )

Ví dụ 2:  A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1

Giả sử x  0 ta viết

x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 =  x2 ( x2 + 6x + 7 – \(\frac{{\rm{6}}}{{\rm{x}}}{\rm{  +  }}\frac{{{\rm{1 }}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}\)) = x2 [(x2 + \(\frac{{{\rm{1 }}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}\)) + 6(x - \(\frac{{{\rm{ 1 }}}}{{\rm{x}}}\)) + 7 ]

Đặt  x - \(\frac{{{\rm{ 1 }}}}{{\rm{x}}}\) = y  thì  x2 + \(\frac{{{\rm{1 }}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}\) = y2 + 2, do đó

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2  =  (xy + 3x)2  = [x(x - \(\frac{{{\rm{ 1 }}}}{{\rm{x}}}\))2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:

A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )

=  x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2   = (x2 + 3x – 1)2

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

Ví dụ 1:  x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

Nhận xét: các số  1, 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ

Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
a + c =  - 6\\
ac + b + d = 12\\
ad + bc =  - 14\\
bd = 3
\end{array} \right.\)

Xét bd = 3 với  b, d  Z, b \(\left\{ { \pm 1, \pm 3} \right\}\)  với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành

\(\left\{ \begin{array}{l}
a + c =  - 6\\
ac =  - 8\\
a + 3c =  - 14\\
bd = 3
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2c =  - 8\\
ac = 8
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c =  - 4\\
a =  - 2
\end{array} \right.\)

Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 =  (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x  + 1)

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

​Chúc các em học tập tốt !

 

YOMEDIA