34 Bài tập phương trình và hệ phương trình Toán nâng cao 9

34 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TOÁN NÂNG CAO LỚP 9

Bài toán 1: Giải phương trình \(\sqrt {x - 2}  + \sqrt {10 - x}  = {x^2} - 12x + 40\)

Bổ đề :  Với  \(a \ge 0;b \ge 0\) \(a + b = \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}}  \le \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {a - b} \right)}^2}}  \Rightarrow a + b \le \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \)

Giải: Điều kiện : \(2 \le x \le 10\), Ta có \(\sqrt {x - 2}  + \sqrt {10 - x}  \le \sqrt {2\left( {x - 2 + 10 - x} \right)}  = 4\) mà  \({x^2} - 12x + 40 = \left( {{x^2} - 12x + 36} \right) + 4 = {\left( {x - 6} \right)^2} + 4 \ge 4\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 10 - x\\x - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6\). Vậy phương trình có nghiệm x = 6

Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có \(\sqrt {x - 2}  + \sqrt {10 - x}  = \frac{{\sqrt {\left( {x - 2} \right).4} }}{2} + \frac{{\sqrt {\left( {10 - x} \right).4} }}{2} \le \frac{{x - 2 + 4}}{4} + \frac{{10 - x + 4}}{4} = 4\).

 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 4\\10 - x = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6\).

Bài toán 2: Giải phương trình: \(\sqrt {{x^2} + x - 1}  + \sqrt {x - {x^2} + 1}  = {x^2} - x + 2\)

Vì \({x^2} + x - 1 \ge 0\) và \(x - {x^2} + 1 \ge 0\) nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái ta được:\(\sqrt {\left( {{x^2} + x - 1} \right).1}  \le \frac{{{x^2} + x - 1 + 1}}{2} = \frac{{{x^2} + x}}{2}\)                  (1)

            \(\sqrt {\left( {x - {x^2} + 1} \right).1}  \le \frac{{x - {x^2} + 1 + 1}}{2} = \frac{{x - {x^2} + 2}}{2}\)                     (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: \(\sqrt {{x^2} + x - 1}  + \sqrt {x - {x^2} + 1}  \le \frac{{{x^2} + x}}{2} + \frac{{x - {x^2} + 2}}{2} = x + 1\) nên theo đề ta có :\({x^2} - x + 2 \le x + 1 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\). Đẳng thức xảy ra khi x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 thoả . Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.

Bài toán 3: Giải phương trình: \(\sqrt {2x - 3}  + \sqrt {5 - 2x}  = 3{x^2} - 12x + 14\) (1)

Điều kiện tồn tại phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3 \ge 0\\5 - 2x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{3}{2}\\x \le \frac{5}{2}\end{array} \right.\quad  \Leftrightarrow \quad \frac{3}{2} \le x \le \frac{5}{2}\) (*)

Vế phải của (1): \(3{x^2} - 12x + 14 = 3\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 2 = 3{\left( {x - 2} \right)^2} + 2 \ge 2\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*)  thì vế trái của phương trình (1):

\(\sqrt {2x - 3}  + \sqrt {5 - 2x}  \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {2x - 3 + 5 - 2x} \right)}  = \sqrt 4  = 2\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(2x - 3 = 5 - 2x \Leftrightarrow x = 2\). Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1)  là 2  nên x = 2 là nghiệm của phương trình.

Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có:\(\sqrt {\left( {2x - 3} \right).1}  + \sqrt {\left( {5 - 2x} \right).1}  \le \frac{{2x - 3 + 1}}{2} + \frac{{5 - 2x + 1}}{2} = 2\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3 = 1\\5 - 2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\). Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1)  là 2  nên x = 2 là nghiệm của phương trình.

Để xem toàn bộ nội dung của 34 bài tập về phương trình và hệ phương trình các em đăng nhập vào website Hoc247.Net xem Online hoặc tải về máy tính. Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu liên quan dưới đây:

• 10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Tổ hợp và rời rạc)
• 10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Số học)
• 10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Hình học)