Với bài học này chúng ta sẽ tìm hiểu về Bất phương trình một ẩn, cùng với các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Bất phương trình một ẩn
Một bất phương trình với ẩn x có dạng:
A(x) > B(x) hoặc A(x) < B(x), \(A(x) \ge B(x),A(x) \le \,B(x)\).
Trong đó vế trái A(x) và vế phải A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.
1.2. Tập nghiệm của bất phương trình
Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.
Khi bài toán yêu cầu giải một bất phương trình, ta phải tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.
Ví dụ 1: Cho bất phương trình: \({x^2} - 4x < 3x\)
Kiểm tra xem các giá trị sau của x có phải là nghiệm của bất phương trình hay không?
a. x = -2 b. x = 1 c. x = 3
Giải
a. Thay x =-2 và bất phương trình, ta được:
\({( - 2)^2} - 4( - 2) < 3( - 2) \Leftrightarrow 4 + 8 < - 6 \Leftrightarrow 12 < - 6,\) mâu thuẫn.
Vậy x=-2 không phải là nghiệm của bất phương trình.
b. Thay x =1 và bất phương trình, ta được:
\({1^2} - 4.1 < 3.1 \Leftrightarrow 1 - 4 < 3 \Leftrightarrow - 3 < 3,\) luôn đúng.
Vậy x = 1 là nghiệm của bất phương trình.
c. Thay x = 3 và bất phương trình, ta được:
\({3^2} - 4.3 < 3.3 \Leftrightarrow 9 - 12 < 9 \Leftrightarrow - 3 < 9,\) luôn đúng.
Vậy x =3 là nghiệm của bất phương trình.
1.3. Bất phương trình tương đương
Hai bất phương trình có cùng một tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương.
Ví dụ 2: Viết thành bất phương trình và chỉ ra một nghiệm của nó từ các mệnh đề sau:
a. Tổng của một số nào đó và 4 lớn hơn 9.
b. Hiệu của 8 và 3 lần số nào đó nhỏ hơn 11.
Giải
a. Gọi số cần tìm là x.
Từ giả thiết “Tổng của x và 4 lớn hơn 9”, ta được: x + 4 > 9.
Ta có thể chọn x = 6 là một nghiệm của bất phương trình trên.
b. Gọi số cần tìm là x.
Từ giả thiết “Hiệu của 8 và 3 lần số x nhỏ hơn 11”, ta được: 8 – 3x.
Ta có thể chọn x = 0 là một nghiệm của bất phương trình trên.
Ví dụ 3: Hãy chỉ ra hai nghiệm trái dấu cho các bất phương trình sau:
a. |x -3| < 6
b. |x + 1| \( \ge \) 8
Giải
a. Ta chọn hai nghiệm là x = -1 và x = 6, thật vậy:
* Với x = -1, ta có: |-1 – 3| < 6 \( \Leftrightarrow \) |-4| < 6 \( \Leftrightarrow \)4 < 6, luôn đúng.
* Với x= 6, ta có: |6 – 3| - 6 \( \Leftrightarrow \) |3| < 6 \( \Leftrightarrow \) 3 < 6, luôn đúng.
b. Ta chọn được hai nghiệm là x = -9 và x = 8, thật vậy:
* Với x = -9, ta có: |-9 + 1| \( \ge \) 8 \( \Leftrightarrow \) |-8| \( \ge \) 8 \( \Leftrightarrow \) 8 \( \ge \) 8, luôn đúng.
* Với x = 8, ta có: |8 + 1| \( \ge \) 8 \( \Leftrightarrow \) |9| \( \ge \) 8 \( \Leftrightarrow \) 9 \( \ge \) 8, luôn đúng.
Bài tập minh họa
Bài 1: Các cặp bất phương trình sau có tương đương không? Vì sao?
a. x + 1 < 2x và 3x < 4x – 1
b. x > 3 và \({x^2} - 4x + 3 > 0.\)
Giải
a. Với bất phương trình: x + 1 < 2x cộng 2x – 1 vào hai vế của bất phương trình, ta được:
\(x + 1 + 2x - 1 < 2x + 2x - 1 \Leftrightarrow 3x < 4x - 1.\)
Vậy hai phương trình đã cho tương đương.
b. Nhận xét rằng, x = 0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng nghiệm của bất phương trình đầu.
Vậy hai bất phương trình đã cho không tương đương.
Bài 2: Cho bất phương trình: \(10x - 15 \ge {x^2} + 6.\)
Kiểm tra xem các giá trị sau của x có phải là nghiệm của bất phương trình hay không?
a. x = 5.
b. x =-2
c. x =7
Giải
a. x = 5 là nghiệm của bất phương trình
b. x =-2 không là nghiệm của bất phương trình.
c. x =7 là nghiệm của bất phương trình.
Bài 3: Các cặp bất phương trình sau có tương đương không? Vì sao?
a. 2 – x < 0 và x – 2 > 0.
b. |x – 2| < 0 và |2 – x| < 0
Giải
a. Khi nhân hai vế của bất phương trình 2 – x < 0 với -1, ta được: x – 2 > 0 đó chính là bất phương trình còn lại.
Vậy hai bất phương trình là tương đương.
b. Ta luôn có |a| = |-a| nên bất phương trình”
|x – 2| < 0 \( \Leftrightarrow \) |– (x-2)| < 0 \( \Leftrightarrow \) |2 – x| < 0
đó chính là bất phương trình còn lại.
Vậy hai phương trình là tương đương.
3. Luyện tập Bài 3 Chương 4 Đại số 8
Qua bài giảng Bất phương trình một ẩn này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
- Nhận biết được dạng bất phương trình một ẩn
- Nắm vững khái niệm tập nghiệm của bất phương trình, bất phương trình tương đương
- Vận dụng được kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan
3.1 Trắc nghiệm về Bất phương trình một ẩn
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Bài 3 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. 2x + 1 > 0
- B. (x+1)(x-2) < 0
- C. x2 - 2x +5 < 0
- D. \(\frac{1}{x} + x \le - 1\)
-
Câu 2:
Tìm x biết 2x - 7 > 8 - x
- A. x > -5
- B. x > 5
- C. x < -15
- D. x > 15
-
- A. x > 1
- B. x = 0
- C. \(x \ne 1\)
- D. Bất phương trình vô nghiệm
Câu 4-9: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK về Bất phương trình một ẩn
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 8 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 15 trang 43 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 16 trang 43 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 17 trang 43 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 18 trang 43 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 31 trang 54 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 32 trang 54 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 33 trang 54 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 34 trang 54 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 35 trang 55 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 36 trang 55 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 37 trang 55 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 38 trang 55 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 39 trang 55 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 3.1 trang 55 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 3.2 trang 55 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 3.3 trang 55 SBT Toán 8 Tập 2
4. Hỏi đáp Bài 3 Chương 4 Đại số 8
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
.
-- Mod Toán Học 8 HỌC247
