Với bài học này chúng ta tiếp tục tìm hiểu về Bất phương trình bậc nhất một ẩn, cùng với các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học.
Tóm tắt lý thuyết
1.1 Hai quy tắc biến đổi bất phương trình
a. Quy tắc chuyển vế
Với các bất đẳng thức, ta có thể biến đổi:
\(a + b < c \Leftrightarrow a + b - c < 0 \to \) chuyển vế và đổi dấu.
Và với các bất phương trình chúng ta cũng có được quy tắc như vậy, cụ thể:
(Quy tắc chuyển vế): Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.
b. Quy tắc nhân với một số
Quy tắc nhân với một số: Khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
1. Giữ nguyên chiều của bất phương trình nếu số đó dương.
2. Đổi chiều của bất phương trình nếu số đó âm.
Ví dụ 1: Sử dụng hai quy tắc biến đổi bất phương trình để các bất phương trình sau:
a. 3x > x + 8 b. \({x^2} + 2x > {x^2} - 4\)
Giải
a. Sử dụng lần lượt các quy tắc, biến đổi bất phương trình về dạng:
\(3x - x > 8 \Leftrightarrow 2x > 8 \Leftrightarrow x > 4\)
Vậy bất phương trình có nghiệm x > 4.
b. Sử dụng lần lượt các quy tắc, biến đổi bất phương trình về dạng:
\({x^2} + 2x > {x^2} - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - {x^2} > - 4 \Leftrightarrow 2x > - 4 \Leftrightarrow x > - 2\)
Vậy bất phương trình có nghiệm x > -2.
1.2. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn
Định nghĩa: Bất phương trình dạng:
\(ax + b > 0,{\rm{ }}ax + b < 0,\,ax + b \le 0,ax + b \ge 0\)
Với a và b là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ 2: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn:
a. \(({m^2} - 2m){x^2} + mx + 3 > 0\)
b. \(mx + (m - 1)y + 4 \le 0.\)
Giải
a. Để bất phương trình:
\(({m^2} - 2m){x^2} + mx + 3 > 0\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m(m - 2) = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\,\,{\rm{or}}\,\,m\, = 2\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\)
Vậy với m = 2 bất phương trình đã cho là một bất phương trình bậc nhất ẩn x.
b. Để bất phương trình: \(mx + (m - 1)y + 4 \le 0\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn x khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\)
Trường hợp 2: Nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn y khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}m = 0\\m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0\)
Kết luận:
* Với m = 1, bất phương trình đã cho là một bất phương trình bậc nhất một ẩn
* Với m = 0, bất phương trình đã cho là một bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau:
a. 2x – 3 > 0
b. 6 – 3x \( \le \) 0
Giải
a. Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng: \(2x > 3 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}.\)
Vậy bất phương trình có nghiệm \(x > \frac{3}{2}.\)
b. Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng: \(3x \le - 6 \Leftrightarrow x \ge 2\)
Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \ge 2.\)
Bài tập minh họa
Bài 1: So sánh số a với số b, biết:
a. \(x < 2 \Leftrightarrow (a - b)x < 2(a - b)\)
b. \(x > 8 \Leftrightarrow (a - b)x < 8(a - b)\)
Giải
a. Nhận xét rằng:
Hai bất phương trình x < 2 và (a – b)x < 2(a – b) là hai bất phương trình cùng chiều.
Bất phương trình thứ hai có được sau khi nhân hai vế của bất phương trình thứ nhất với số (a – b).
Suy ra: \(a{\rm{ }}-{\rm{ }}b{\rm{ }} > {\rm{ }}0 \Leftrightarrow a > b.\)
b. Nhận xét rằng:
Hai bất phương trình: x > 8 và (a – b)x < 8(a – b) là hai bất phương trình ngược chiều.
Bất phương trình thứ hai có được sau khi nhân hai vế của bất phương trình thứ nhất với số (a – b).
Suy ra: \(a{\rm{ }}-{\rm{ }}b{\rm{ }} < {\rm{ }}0 \Leftrightarrow a < b.\)
Bài 2: Giải các bất phương trình sau
a. – 4x + 12 > 0
b. \(3 - 4x \ge 19\)
c. \(({m^2} + 1)x - {m^4} < - 1,\) với m là tham số.
Giải
a. Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng: \( - 4x > - 12 \Leftrightarrow x < 3\)
Vậy bất phương trình có nghiệm x < 3
b. Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng:
\( - 4x \ge 19 - 3 \Leftrightarrow - 4x \ge 16 \Leftrightarrow x \le - 4\)
Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \le - 4\)
c. Biến đổi tương đương bất phương tình về dạng: \(({m^2} + 1)x < {m^4} - 1.\,\,(*)\)
Vì \({m^2} + 1\) luôn dương với mọi m nên khi chia cả hai vế của bất phương trình (*) cho \({m^2} + 1\) thì dấu bất phương trình không thay đổi, cụ thể ta được:
\(x < \frac{{{m^4} - 1}}{{{m^2} + 1}} = \frac{{({m^2} - 1)({m^2} + 1)}}{{{m^2} + 1}} = {m^2} - 1 \Leftrightarrow x < {m^2} - 1\)
Vậy bất phương trình có nghiệm \(x < {m^2} - 1\)
Bài 3: Tìm x để A < 0, biết: \(A = 1 - \frac{{2x + 3}}{2}\)
Giải
Trước tiên ta đi rút gọn biểu thức A:
\(A = 1 - \frac{{2x + 3}}{2} = \frac{{2 - 2x - 3}}{2} = \frac{{ - 2x - 1}}{2}\)
Để A < 0, ta phải có: \(\frac{{ - 2x - 1}}{2} < 0 \Leftrightarrow - 2x - 1 < 0 \Leftrightarrow - 2x < 1 \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}\)
Vậy với \(x > - \frac{1}{2}\) thoả mãn điều kiện đầu bài.
3. Luyện tập Bài 5 Chương 4 Đại số 8
Qua bài giảng Bất phương trình bậc nhất một ẩn này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
- Nắm vững hai quy tắc biến đổi bất phương trình
- Hiểu rõ định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Vận dụng được kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan
3.1 Trắc nghiệm về Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Chương 4 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. \(7 - \frac{1}{{2y}} < 0\)
- B. y < 10 - 2y
- C. \(\frac{3}{4}x - y < 1\)
- D. \(4 + 0.y \ge 8\)
-
- A. x > 4 -2
- B. x > -4 -2
- C. x > -4 -2
- D. x > 4 + 2
-
- A. x > 3
- B. x < -3
- C. x - 1 > 2
- D. x - 1 < 2
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK về Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 8 Chương 4 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 19 trang 47 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 20 trang 47 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 21 trang 47 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 22 trang 47 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 23 trang 47 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 24 trang 47 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 25 trang 47 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 26 trang 47 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 27 trang 48 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 28 trang 48 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 29 trang 48 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 30 trang 48 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 31 trang 48 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 32 trang 48 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 33 trang 48 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 34 trang 49 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 40 trang 56 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 41 trang 56 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 42 trang 56 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 43 trang 56 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 44 trang 56 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 45 trang 56 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 46 trang 57 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 47 trang 57 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 48 trang 57 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 49 trang 57 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 50 trang 57 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 51 trang 57 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 52 trang 57 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 53 trang 57 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 54 trang 58 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 55 trang 58 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 56 trang 58 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 57 trang 58 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 58 trang 58 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 59 trang 58 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 60 trang 58 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 61 trang 58 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 62 trang 58 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 63 trang 58 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 64 trang 58 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 4.1 trang 59 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 4.2 trang 59 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 4.3 trang 59 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 4.4 trang 59 SBT Toán 8 Tập 2
4. Hỏi đáp Bài 5 Chương 4 Đại số 8
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 8 HỌC247
