Toán 7 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 7

a) Biểu thức đại số

Ta đã biết những số và chữ được nối với nhau bởi dấu của các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa) làm thành một biểu thức. Người ta thường phân biệt biểu thức số và biểu thức chứa chữ.

Chú ý

+ Để cho gọn, khi viết các biểu thức đại số, ta không viết dấu nhân giữa các biến, cũng như giữa biến và số. Chẳng hạn, a . b và 2 . a tương ứng có thể viết là ab và 2a.

+ Thông thường ta không viết thừa số 1 trong một tích. Chẳng hạn, 1xy viết là xy; (-1)ab viết là -ab.

+ Với các biến, ta cũng có thể áp dụng các quy tắc và tính chất của các phép tính như đối với các số. Chẳng hạn:

\(\begin{array}{l}
x + x = 2x;\;\;\;\;x.x.x = {x^3};\;\;\;\;x + y = y + x;\\
x\left( {y + z} \right) = xy + xz;\;\;\;\; - \left( {x + y - z} \right) =  - x - y + z;...
\end{array}\)

b) Giá trị của biểu thức đại số

Nếu thay p = 5 và q = 7 vào biểu thức A = 3p - q rồi thực hiện phép tính, ta được: A = 3 . 5 - 7 = 8.

Khi đó, ta nói: 8 là giá trị của biểu thức A tại p = 5 và q = 7 hay khi p= 5 và q = 7 thì giá trị của biểu thức A là 8.

a) Đơn thức một biến

- Các biểu thức như \( - 0,5;\;\;\;3{x^2};\;\;\; - \frac{3}{4}{x^5}\) là những ví dụ về đơn thức một biến. Chúng đều là tích của một số với một luỹ thừa của x.

Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một luỹ thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của luỹ thừa của biến gọi là bậc của đơn thức. Chẳng hạn:

+ Biểu thức 4x2 là một đơn thức, trong đó 4 là hệ số, số mũ 3 của x là bậc của đơn thức đó.

+ Đơn thức -0,5x có hệ số là -0,5 và có bậc là 1 (vì x = x1).

+ Một số khác 0 là một đơn thức bậc 0.

Chú ý: Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Đơn thức này không có bậc.

- Với các đơn thức một biến, ta có thể:

+ Cộng (hay trừ) hai đơn thúc cùng bậc bằng cách cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên luỹ thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức. Chẳng hạn:

\(\begin{array}{l}
 - 3{x^4} + {x^4} = \left( { - 3 + 1} \right){x^4} =  - 2{x^4};\\
3,7{x^2} - 1,2{x^2} = \left( {3,7 - 1,2} \right){x^2} = 2,5{x^2}.
\end{array}\) 

+ Nhân hai đơn thức tuỳ ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai luỹ thừa của biến với nhau. Tích nhận được cũng là một đơn thức. Chẳng hạn:

\(\begin{array}{l}
\left( {0,5x} \right).\left( {6{x^2}} \right) = \left( {0,5.6} \right).\left( {x.{x^2}} \right) = 3{x^3};\\
\left( { - 6{x^3}} \right).\left( {\frac{2}{3}{x^2}} \right) = \left[ {\left( { - 6} \right).\frac{2}{3}} \right]\left( {{x^3}.{x^2}} \right) =  - 4{x^5}.
\end{array}\) 

b) Khái niệm đa thức một biến

Các biểu thức \(A = 6{x^3} - 5{x^2} - 4{x^3} + 7\) và \(B = 2{x^4} - 3{x^2} + x + 1\) có chung một đặc điểm: chúng đều là tổng của những đơn thức với biến x. Đó là những ví dụ về đa thức một biến.

Một cách tổng quát:

Chú ý: Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa. Đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn.

Chẳng hạn:

\(A = A\left( x \right) = 6{x^3} - 5{x^2} - 4{x^3} + 7.\) 

c) Đa thức một biến thu gọn

Xét hai đa thức \(A = 6{x^3} - 5{x^2} - 4{x^3} + 7\) và \(B = 2{x^4} - 3{x^2} + {\rm{ }}x + 1\), ta thấy:

+ Trong đa thức A có hai đơn thức cùng bậc là 6x3 và - 4x3.

+ Trong đa thức 8 không có hai đơn thức nào cùng bậc.

Ta gọi các đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc là các đa thức thu gọn.

d) Sắp xếp đa thức một biến

Dưới đây, ta chỉ xét các đa thức khác đa thúc không.

+ Để thuận lợi cho việc tính toán các đa thức một biến, người ta thường viết chúng dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo luỹ thừa giảm của biến.

Chẳng hạn, sắp xếp các hạng tử của đa thức \(P = 5{x^2} - 2x + 1 - 3{x^4}\) theo luỹ thừa giảm của biến, ta được \(P =  - 3{x^4} + 5{x^2} - 2x + 1\).

+ Trong đa thức P ta thấy có các đơn thức bậc 4 và bậc 2, nhưng khuyết đơn thức bậc 3. Tuy nhiên khi cần, ta cũng có thể viết:

\(P =  - 3{x^4} + 0{x^3} + 5{x^2} - 2x + 1\)

Ở đây, ta coi rằng hệ số của luỹ thừa bậc 3 là 0.

Chú ý: Người ta cũng có thể sắp xếp đa thức theo luỹ thừa tăng của biến. Chẳng hạn, ta có thể sắp xếp các hạng tử của đa thức P trên đây như sau: \(P = 1 - 2x + 5{x^2} - 3{x^4}\).

e) Bậc và các hệ số của một đa thức

Hạng tử có bậc cao nhất và hạng tử bậc 0 có vai trò đặc biệt trong một đa thức. Ta có định nghĩa:

Chú ý

+ Đa thức không là đa thức không có bậc.

+ Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0).

+ Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó.

f) Nghiệm của đa thức một biến

Nhận xét

Nếu một đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì x= 0 là một nghiệm của đa thức đó.

Chẳng hạn, trong ví dụ trên cho thấy đa thức A(x) = 2x2 + 6x có hệ số tự do bằng 0 và có nghiệm x = 0.

a) Cộng hai đa thức một biến

Chú ý

Phép cộng đa thức cũng có các tính chất như phép cộng các số thực. Cụ thể là:

+  Tính chất giao hoán: A + B = B+ A.

+ Tính chất kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C).

+  Cộng với đa thức không: A + 0 = 0 + A = A.

b) Trừ hai đa thức một biến

Tương tự như các số, đối với các đa thức P, Q, R, ta cũng có:

Nếu Q + R = P thì R = P - Q.

Nếu R = P - Q thì Q + R = P.

a) Nhân đơn thức với đa thức

b) Nhân đa thức với đa thức

Tổng quát, ta có quy tắc sau:

Chú ý: 

* Ta có thể trình bày phép nhân trên bằng cách đặt tính nhân:

Khi trình bày theo cách này ta cần:

+ Nhân lần lượt mỗi hạng tử ở dòng dưới với đa thức ở dòng trên và viết kết quả trong một dòng riêng.

+ Viết các dòng sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau (để thực hiện phép cộng theo cột).

 * Phép nhân đa thức cũng có các tính chất:

+ Giao hoán: A . B = B . A.

+ Kết hợp: (A . B) . C = A . (B . C).

+ Phân phối đối với phép cộng: A . (B + C) = A . B + A . C.

a) Phép chia hết

* Xét hai đơn thức 6x4 và -2x3, ta thấy 6x4 = (-2x3) . (-3x)

Từ đó, tương tự như đối với các số, ta cũng có thể viết:

\(6{x^4}:\left( { - 2{x^3}} \right) =  - 3x\), hay \(\frac{{6{x^4}}}{{ - 2{x^3}}} =  - 3x\)

và nói rằng đó là một phép chia hết.

* Một cách tổng quát, cho hai đa thức A và 8 với \(B \ne 0\).

Nếu có một đa thức Q sao cho A = B . Q thì ta có phép chia hết:

A : B = Q hay \(\frac{A}{B} = Q\), trong đó:

A là đa thức bị chia;

B là đa thức chia;

Q là đa thức thương (gọi tắt là thương).

Khi đó ta còn nói đa thức A chia hết cho đa thức B.

* Để thực hiện phép chia 6x4 cho (-2x3), ta làm như sau:

+ Chia hai hệ số: 6 : (-2) = -3.

+ Chia hai luỹ thừa của biến: x4 : x3 = x.

+ Nhân hai kết quả trên, ta tìm được thương là -3x.

b) Khi nào axn chia hết cho bx?

c) Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết

Cách đặt tính chia

Để chia đa thức \(A = 2{x^4} - 13{x^3} + 15{x^2} + 11x - 3\) cho đa thức \(B = {x^2} - 4x - 3\), ta làm như sau:

Bước 1. Đặt tính chia tương tự chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

\(2{x^4}:{x^2} = 2{x^2}\)

Bước 2. Lấy A trừ đi tích B . (2x2), ta được dư thứ nhất là \( - 5{x^3} + 21{x^2} + 11x - 3\):

Bước 3. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

\(\left( { - 5{x^3}} \right):{x^2} =  - 5x\) 

Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B . (-5x), ta được dư thứ hai là \({x^2} - 4x - 3\):

Bước 5. Làm tương tự như trên, ta được:

Dư cuối cùng bằng 0 nên quá trình chia kết thúc.

Ta được thương là đa thức 2x2 - 5x + 1.

Chú ý: Khi chia đa thức cho một đơn thức thì ta có thể không cần đặt tính chia. Cách làm như trong ví dụ sau:

\(\begin{array}{l}
\left( { - 6{x^5} + 7{x^4} - 6{x^3}} \right):3{x^3}\\
 = \left( { - 6{x^5}:3{x^3}} \right) + \left( {7{x^4}:3{x^3}} \right) + \left( { - 6{x^3}:3{x^3}} \right)\\
 =  - 2{x^2} + \frac{7}{3}x - 2
\end{array}\) 

d) Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia có dư

Luyện tập Ôn tập Chương 7 Toán 7 KNTT

3.1. Bài tập trắc nghiệm Ôn tập Chương 7 Toán 7 KNTT

3.2. Bài tập SGK cuối Chương 7 Toán 7 KNTT

Hỏi đáp Ôn tập Chương 7 Toán 7 KNTT