Bài tập 9 trang 15 SGK Hình học 12 NC

Giả sử \({T_{\overrightarrow v }}\) là phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow v \)

\(\begin{array}{l}
{T_{\overrightarrow v }}:M \to M\prime \\
N \to N\prime 
\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow {NN'}  = \vec v \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {M'N'} \\
 \Rightarrow MN = M'N'
\end{array}\)

Vậy phép tịnh tiến là một phép dời hình.

* 

Giả sử \({\mathop N\limits^\~ _d}\) là phép đối xứng qua đường thẳng d

Giả sử

\(\begin{array}{l}
{{\tilde N}_d}:M \to M'\\
N \to N'
\end{array}\)

Gọi H và K lần lượt là trung điểm của MM′ và NN′.

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {M'N'}  = \left( {\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {HK}  + \overrightarrow {KN} } \right)\\
 + \left( {\overrightarrow {M'H}  + \overrightarrow {HK}  + \overrightarrow {KN'} } \right) = 2\overrightarrow {HK} 
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN}  - \overrightarrow {M'N'}  = \overrightarrow {HN}  - \overrightarrow {HM} \\
 - \overrightarrow {HN'}  + \overrightarrow {HM'}  = \overrightarrow {N'N}  + \overrightarrow {MM'} 
\end{array}
\end{array}\)

Vì \(\overrightarrow {MM'}  \bot \overrightarrow {HK} \) và \(\overrightarrow {NN'}  \bot \overrightarrow {HK} \) nên 

\(\begin{array}{l}
{\overrightarrow {MN} ^2} - {\overrightarrow {M'N'} ^2} = \left( {\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {M'N'} } \right)\left( {\overrightarrow {MN}  - \overrightarrow {M'N'} } \right)\\
 = 2\overrightarrow {HK} \left( {\overrightarrow {N'N}  + \overrightarrow {MM'} } \right) \Rightarrow M{N^2} = M'N{{\rm{'}}^2}\\
 \Rightarrow MN = M'N'
\end{array}\)

Vậy phép đối xứng qua d là phép dời hình.

* Nếu phép đối xứng qua tâm O biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M′, N′ thì 

\(\overrightarrow {OM'}  =  - \overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON'}  =  - \overrightarrow {ON} \)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \overrightarrow {M'N'}  = \overrightarrow {ON'}  - \overrightarrow {OM'} \\
 =  - \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {NM} \\
 \Rightarrow M'N' = MN
\end{array}\)

Vậy phép đối xứng tâm O là một phép dời hình.

-- Mod Toán 12 HỌC247