Bài tập 76 trang 127 SGK Toán 12 NC

a) Điều kiện: x ≠ 0

Chia hai vế phương trình cho \({4^{\frac{{ - 1}}{x}}}\) ta được \(1 + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{^{\frac{{ - 1}}{x}}}} = {\left( {\frac{9}{4}} \right)^{^{\frac{{ - 1}}{x}}}}\)

Đặt \(t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{^{\frac{{ - 1}}{x}}}},\left( {t > 0} \right)\) ta có phương trình:

\({t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\
t = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\left( L \right)
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
t = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - \frac{1}{x}}} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\
 \Leftrightarrow  - \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \frac{1}{x} = {{\log }_{\frac{2}{3}}}{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^{ - 1}} = {{\log }_{\frac{2}{3}}}\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}}\\
{ \Leftrightarrow x = {{\log }_{\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}}}\frac{3}{2}}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {{{\log }_{\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}}}\frac{3}{2}} \right\}\)

b) Điều kiện: x > 0

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{4^{\ln x + 1}} - 6{\ln ^x} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0\\
 \Leftrightarrow {4.4^{\ln x}} - {6^{\ln x}} - {18.9^{\ln x}} = 0
\end{array}
\end{array}\)

Chia hai vế của phương trình cho 4lnx , ta được:

\(4 - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\ln x}} - 18{\left( {\frac{9}{4}} \right)^{\ln x}} = 0\)

Đặt \(t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\ln x}},\left( {t > 0} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{18{t^2} + t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 49}\\
{t =  - \frac{1}{2}\left( L \right)}
\end{array}} \right.}\\
\begin{array}{l}
t = \frac{4}{9} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\ln x}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - 2}}\\
 \Leftrightarrow \ln x =  - 2 \Leftrightarrow x = {e^{ - 2}}
\end{array}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {{e^{ - 2}}} \right\}\)

c) Điều kiện: \({\log _2}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

Đặt \(t = \sqrt {{{\log }_2}x} \left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {\log _2}x = {t^2}\)

\(\begin{array}{l}
3\sqrt {{{\log }_2}x}  - {\log _2}8x + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x}  - 3 - {\log _2}x + 1 = 0
\end{array}\)

Ta có phương trình: \(3t - 2 - {t^2} = 0\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {{{\log }_2}x}  = 1\\
\sqrt {{{\log }_2}x}  = 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _2}x = 1\\
{\log _2}x = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 16
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy S = {2; 16}

d) Điều kiện: x > 0. Với điều kiện ta có:     

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\log _{\frac{1}{2}}^2(4x) = ({\log _{\frac{1}{2}}}4 + {\log _{\frac{1}{2}}}x)2\\
 = {( - 2 - {\log _2}x)^2} = {(2 + {\log _2}x)^2}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
{\log _2}\frac{{{x^2}}}{8} = {\log _2}{x^2} - {\log _2}8\\
 = 2{\log _2}x - 3
\end{array}
\end{array}\) 

Ta có phương trình:

\({({\log _2}x + 2)^2} + 2{\log _2}x - 3 = 8\)

Đặt \(t = {\log _2}x\) ta được \({\left( {t + 2} \right)^2} + 2t - 11 = 0\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{t^2} + 6t - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\\
{t =  - 7}
\end{array}} \right.}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_2}x = 1}\\
{{{\log }_2}x =  - 7}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{x = {2^{ - 7}}}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Vậy \(S = \{ 2;{2^{ - 7}}\} \)

-- Mod Toán 12 HỌC247