Mời các em cùng HOC247 tìm hiểu nội dung lý thuyết và bài tập bài Khoảng cách trong không gian môn Toán 11 Chân trời sáng tạo để hiểu hơn về các Khoảng cách và phương pháp tính khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian cũng như cách ứng dụng chúng trong đời sống nhé!
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
Định nghĩa:
Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng a thì độ dài đoạn MH được gọi là khoảng cách từ M đến đường thẳng a, kí hiệu d(M, a).
Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thi độ dài đoạn MH được gọi là khoảng cách từ M đến (P), kí hiệu d(M, (P)).
Chú ý: Ta quy ước:
• d(M, a)=0 khi và chỉ khi M thuộc đị
• d(M, (P)) = 0 khi và chỉ khi M thuộc (P).
Nhận xét:
a) Lấy điểm N tuỳ ý trên đường thẳng a, ta luôn có d(M, a) \(\le\) MN.
b) Lấy điểm N tuỳ ý trên mặt phẳng (P), ta luôn có d(M, (P)) \(\le\) MN.
1.2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
Định nghĩa:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến b, kí hiệu d(a, b).
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách tử một điểm bất kì trên a đến (P), kí hiệu d(a, (P)).
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì trên (P) đến (Q), kí hiệu d((P), (Q)).
1.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Định nghĩa:
Đường thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
Nếu đường vuông góc chung của hai đường thăng chéo nhau a và b cắt chúng lần lượt tại I và J thì đoạn IJ gọi là đoạn vuông góc chung của a và b.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thăng đó, kí hiệu d(a, b).
Chú ý:
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa một trong hai đường đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường còn lại.
+) Khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
1.4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
a) Thể tích khối hộp chữ nhật
Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước.
V=abc.
b) Thể tích khối chóp
Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao.
V=1/3 Sh.
c) Thể tích khối chóp cụt đều
Để tìm thể tích khối chóp cụt đều, ta sử dụng công thức sau đây:
\(V = h (S + \sqrt {SS'}+ S')\)
với h là chiều cao và S, S là diện tích hai đáy.
d) Thể tích khối lăng trụ
Khoảng cách h giữa hai mặt phẳng đáy của hình lăng trụ là chiều cao của hình lăng trụ đó.
Thể tích khối lăng trụ bằng tích diện tích đáy và chiều cao.
V=Sh.
Chú ý: Ta gọi khối lăng trụ cỏ cạnh bên vuông góc với đáy là khối lăng trụ đứng. Chiều dài cạnh bên a của khối lăng trụ đứng bằng chiều cao h và ta có công thức: V = Sa.
Bài tập minh họa
Câu 1. Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,\,SA=\text{2}a,\,SA\bot \left( ABCD \right).\) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng
A. \(\text{2}a\). B. \(\frac{\text{2}a\sqrt{5}}{5}\). C. \(a\sqrt{\text{2}}\). D. \(\frac{a\sqrt{\text{2}}}{\text{2}}\).
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
\(\left\{ \begin{align} & BC\bot SA \\ & BC\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\)
Kẻ \(AH\bot SB\), mà \(BC\bot AH\subset \left( SAB \right)\), suy ra \(AH\bot \left( SBC \right)\).
Khi đó \(d\left( A;\,\left( SBC \right) \right)=AH\).
Trong \(\Delta SAB\) vuông tại A,\(AH\bot SB\), có \(\frac{\text{1}}{A{{H}^{\text{2}}}}=\frac{\text{1}}{S{{A}^{\text{2}}}}+\frac{\text{1}}{A{{B}^{\text{2}}}}\Rightarrow AH=\frac{\text{2}a\sqrt{5}}{5}\).
Câu 2: Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Gọi \(H, K\) lần lượt là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(SBC\).
a) Chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy.
b) Chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((BHK)\) và \(HK\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\).
c) Xác định đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).
Hướng dẫn giải
a) Gọi \(E = AH ∩ BC\), chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy tại \(E.\)
b) Trong \((ABC)\) gọi \(F = BH ∩ AC\), trong \((SBC)\) gọi \(D = BK ∩ SC\). Khi đó \((BHK) \equiv (BDF)\). Chứng minh \(SC \bot \left( {BDF} \right)\).
Chứng minh \(HK\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong \((SBC)\).
c) Dựa vào định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng cắt nhau.
Luyện tập Bài 4 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Học xong bài học này, em có thể:
– Tính được các loại khoảng cách trong không gian.
– Tính được thể tích của hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp, hình chóp cụt đều.
3.1. Trắc nghiệm Bài 4 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 8 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. \(\sqrt{29}\).
- B. \(\sqrt{30}\).
- C. \(5\).
- D. \(\sqrt{28}\).
-
- A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mặt phẳng (P).
- C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b.
- D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
-
- A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
- B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
- C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 4 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 8 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khởi động trang 74 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 1 trang 74 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 1 trang 75 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 1 trang 75 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 76 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 2 trang 77 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 3 trang 77 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 3 trang 78 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 2 trang 78 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 4 trang 78 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 5 trang 79 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 4 trang 81 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 3 trang 81 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 1 trang 81 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 2 trang 81 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 3 trang 81 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 4 trang 81 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 5 trang 81 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 6 trang 82 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 7 trang 82 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 8 trang 82 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Bài tập 1 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 2 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 3 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 4 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 5 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 6 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 7 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 8 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 9 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 10 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Hỏi đáp Bài 4 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
