Bài tập 7 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST

Gọi I là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên A'I.

Ta có: BC ⊥ AI và BC ⊥ AA' $\Rightarrow$ BC ⊥ (A'AI) $\Rightarrow$ (A'BC) ⊥ (A'AI).

Mặt khác (AB'C) $\cap$ (A'AI) = A'I và AH ⊥ A'I.

Nên $d(A,(A\text{'}BC\left)\right)=AH=\frac{a\sqrt{57}}{12}$

∆ABC đều cạnh a $\Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Xét tam giác A'AI vuông tại A, ta có:

$\frac{1}{A\text{'}{A}^2}=\frac{1}{A{H}^2}-\frac{1}{A{I}^2}=\frac{144}{57a^2}-\frac{4}{3a^2}=\frac{68}{57a^2}\Rightarrow AA\text{'}=\frac{a\sqrt{57}}{2\sqrt{17}}$.

Do đó $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=S_{ABC}.AA\text{'}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{57}}{2\sqrt{17}}=\frac{a^3\sqrt{171}}{8\sqrt{17}}$

Vậy $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{a^3\sqrt{171}}{8\sqrt{17}}$.

-- Mod Toán 11 HỌC247