Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Có bao nhiêu loại khoảng cách trong công trình đang xây dụng này? Làm thế nào để tính được những khoảng cách đó

a) Cho điểm \(M\) và đường thẳng \(a\) không đi qua \(M\). Trong mặt phẳng \(\left( {M,a} \right)\), dùng êke để tìm điểm \(H\) trên \(a\) sao cho \(MH \bot a\) (Hình 1a). Đo độ dài đoạn \(MH\).

b) Cho điểm \(M\) không nằm trên mặt phẳng sàn nhà \(\left( P \right)\). Dùng dây dọi để tìm hình chiếu vuông góc \(H\) của \(M\) trên \(\left( P \right)\) (Hình 1b). Đo độ dài đoạn \(MH\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Cho biết \(SA = a\) và \(SA\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\).

a) Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến \(\left( {SAD} \right)\).

b) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến cạnh \(SC\).

Một quạt trần có bề dày của thân quạt là 20 cm. Người muốn treo quạt sao cho khoảng cách từ đỉnh quạt đến sàn nhà là 2,5 m. Hỏi phải làm cán quạt dài bao nhiêu? Cho biết trần nhà cao 3,6 m

a) Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Lấy hai điểm \(A,B\) tuỳ ý trên \(a\) và gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) và \(B\) trên \(\left( P \right)\) (Hình 4a). So sánh độ dài hai đoạn thẳng \(AH\) và \(BK\).

b) Cho hai mặt phẳng song song \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Lấy hai điểm \(A,B\) tuỳ ý trên \(\left( P \right)\) và gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) và \(B\) trên \(\left( Q \right)\) (Hình 4b). So sánh độ dài hai đoạn thẳng \(AH\) và \(BK\).

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Tính khoảng cách:

a) Giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) và \(\left( {A'C'B} \right)\).

b) Giữa đường thẳng \(AB\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).

Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(b\) và song song với \(a\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(a\), vuông góc với \(\left( Q \right)\) và cắt \(b\) tại điểm \(J\). Trong \(\left( P \right)\), gọi \(c\) là đường thẳng đi qua \(J\), vuông góc với \(a\) và cắt \(a\) tại điểm \(I\).

Đường thẳng \(IJ\) có vuông góc với \(b\) không? Giải thích.

Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA,OB,OC\) đều bằng \(a\) và vuông góc từng đôi một. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) \(OA\) và \(BC\);

b) \(OB\) và \(AC\).

Một căn phòng có trần cao 3,2 m. Tỉnh khoảng cách giữa một đường thẳng \(a\) trên trần nhà và đường thẳng \(b\) trên sàn nhà.

Cho một khối hộp chữ nhật với các kích thước là \(a,b,c\) đều là số nguyên dương. Về các mặt phẳng song song với các mặt của hình hộp và chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1 (Hình 11). Tìm số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp.

Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) (Hình 14). Tìm cách chia khối lăng trụ thành ba khối chóp có cùng chiều cao và diện tích đáy.

Tính thể tích của một bồn chứa có dạng khối chóp cụt đều có kích thước được cho như trong Hình 20.

Tính thể tích cái nêm hình lăng trụ đứng có kích thước như trong Hình 21.

Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo, \(\widehat {ABC} = {60^ \circ },SO \bot \left( {ABCD} \right),SO = a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

Cho hai tam giác cân \(ABC\) và \(ABD\) có đáy chung \(AB\) và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng \(AB \bot CD\).

b) Xác định đoạn vuông góc chung của \(AB\) và \(C{\rm{D}}\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA = SB = SC = SD = a\sqrt 2 \). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(C{\rm{D}}\).

a) Chứng minh \(AB \bot \left( {SIJ} \right)\).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^ \circ }\).

a) Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

b) Tinh thể tích của khối lăng trụ.

Một cây cầu dành cho người đi bộ (Hình 22) có mặt sàn cầu cách mặt đường 3,5 m, khoảng cách từ đường thẳng \(a\) nằm trên tay vịn của cầu đến mặt sàn cầu là 0,8 m. Gọi \(b\) là đường thẳng kẻ theo tim đường. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\).

Cho hình hộp đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bên \(AA' = 2a\) và đáy \(ABCD\) là hình thoi có \(AB = a\) và \(AC = a\sqrt 3 \).

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(B{\rm{D}}\) và \(AA'\).

b) Tính thể tích của khối hộp.

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\) và có \(O\) là giao điểm hai đường chéo của đáy.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\).

b) Tinh thể tích của khối chóp.

Tính thể tích của khối chóp cụt lục giác đều \(ABCDEF.{\rm{ }}A'B'C'D'E'F'\) với \(O\) và \(O'\) là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là \(a\) và \(\frac{a}{2},OO' = a\).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều canh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ ?

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của SC.

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAG).

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và $B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ ?

Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng $\sqrt{11}$ . Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI?

Cho hình chóp S.ABC có tam giác vuông cân tại B, AC = $a\sqrt{2}$ , mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC). Các mặt bên (SAB), (SBC) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60°. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC?

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = \(a\sqrt{3}\), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = a, AD = 3a, BC = a. Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a?

Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có cạnh đáy bằng a. Biết $d\left(A\right(A^{\text{'}}B{C}^{\text{'}}\left)\right)=\frac{a\sqrt{57}}{12}$ . Tính $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ ?

Một hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có ba kích thước là 2 cm, 3 cm và 6 cm. Tính thể tích của khối tứ diện $AC{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ ?

Cho hình chóp cụt tam giác đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có đường cao $H{H}^{\text{'}}=2a$ . Cho biết AB = 2a, $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=a$ . Gọi B₁, C₁ lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính thể tích của:

a) Khối chóp cụt đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ .

b) Khối lăng trụ $A{B}_1{C}_1.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ .

Tính thể tích một cái sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng 80 cm, đáy nhỏ có cạnh bằng 40 cm và cạnh bên bằng 80 cm?