Mời các em tham khảo bài giảng Hai mặt phẳng vuông góc chương trình Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo do Hoc247 tóm tắt và biên soạn. Ngoài lý thuyết và bài tập minh họa, bài này còn mang đến các hỏi trắc nghiệm để các em có thể vừa học xong có thể ôn tập lại kiến thức mà mình đã học. Chúc các em học tập vui vẻ và tràn đầy năng lượng!
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa:
Góc giữa hai mặt phẳng (\(\alpha\)) và (\(\beta\)) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với (\(\alpha\)) và (\(\beta\)), kí hiệu ((\(\alpha\)), (\(\beta\))).
Ngoài ra, góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.
Cho c = \((\alpha) \cap (\beta)\):
\(((\alpha), (\beta))=(a, b)\) với \(a \subset (a), b \subset (\beta)\), \(a \bot c, b \bot c\) (Hình 4).
1.2. Hai mặt phẳng vuông góc
Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông.
Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc được kí hiệu là (P) L (O).
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
1.3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc
Định lí 2:
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cử đường thăng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Định lí 3:
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
1.4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Định nghĩa:
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có mặt đáy là đa giác đều.
Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có mặt đáy là hình chữ nhật.
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
Sử dụng quan hệ song song và vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta chứng minh được các tính chất sau đây của các hình vừa nêu:
Chú ý: Lăng trụ đều có đầy tử giác thường được gọi là lăng trụ tử giác đều. Tương tự ta cũng có lăng trụ tam giác đều, lăng trụ lục giác đều, ...
1.5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
a) Hình chóp đều
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Chú ý: Hình chóp đều có:
+) Các mặt bên là các tam giác cân tại định hình chóp và bằng nhau.
+) Đoạn thẳng nổi từ định hình chóp đến tâm của đáy thì vuông góc với mặt đáy và gọi là đường cao của hình chóp.
+) Độ dài đường cao gọi là chiều cao của hình chóp đều.
b) Hình chóp cụt đều
Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.
Bài tập minh họa
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là ∠CBD
B. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB
C. (BCD) ⊥ (AIB)
D. (ACD) ⊥ (AIB)
Hướng dẫn giải
+ Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD
⇒ CD ⊥ BI (1)
+ Tam giác CAD cân tại A cóI trung điểm đáy CD
⇒ CD ⊥ AI (2)
Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI).
⇒ (BCD) ⊥ (ABI) Và (ACD) ⊥ (ABI);
Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB .
Vậy A: sai
Chọn A
Câu 2: Trong mặt phẳng \((\alpha)\) cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(B\). Một đoạn thẳng \(AD\) vuông góc với \((\alpha)\) tại \(A\). Chứng minh rằng:
a) \(\widehat {ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\);
b) Mặt phẳng \((ABD)\) vuông góc với mặt phẳng \((BCD)\);
c) \(HK//BC\) với \(H\) và \(K\) lần lượt là giao điểm của \(DB\) và \(DC\) với mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(DB\).
Hướng dẫn giải
a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB \, \bot \, BC\) (1)
\(AD\) vuông góc với \((\alpha)\) nên \(AD \, \bot \, BC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC \, \bot \, (ABD)\) suy ra \(BC \, \bot \, BD\)
\(\left. \matrix{
(ABC) \cap (DBC) = BC \hfill \cr
BD \, \bot \, BC \hfill \cr
AB \,\bot \, BC \hfill \cr} \right\} \)
\(\Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\) là góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(BA\)
Mà \(DA \, \bot \, \left( {ABC} \right) \Rightarrow DA \, \bot \, AB\) \( \Rightarrow \widehat {ABD} < {90^0}\)
Vậy \(\widehat {ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\).
b)
\(\left. \matrix{
BC\, \bot \, (ABD) \hfill \cr
BC \, \subset \, (BCD) \hfill \cr} \right\}\) \( \Rightarrow (ABD) \, \bot \, (BCD)\)
c) Do \((P)\) đi qua \(A, H, K\) nên mặt phẳng \(\left( P \right) \equiv \left( {AHK} \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(DB\) nên \(HK\bot BD\)
Trong \((BCD)\) có: \(HK \, \bot \, BD\) và \(BC \, \bot \, BD\) nên suy ra \(HK \, // \,BC\).
Chú ý:
Từ chứng minh trên ta có thể suy ra cách dựng \((P)\) như sau:
Trong \((DAB),\) qua \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(DB\) cắt \(DB\) tại \(H.\)
Trong \((DBC)\), kẻ đường thẳng qua \(H\) và vuông góc với \(DB\) cắt \(DC\) tại \(K.\)
Từ đó ta có \((P)\) chính là \((AHK).\)
Luyện tập Bài 3 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Học xong bài học này, em có thể:
- Nhận biết được quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.
- Sử dụng được các kiến thức về quan hệ vuông góc để mô tả các hình ảnh trong thực tiễn.
3.1. Trắc nghiệm Bài 3 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 8 Bài 3 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. \(\left( SAB \right)\bot \left( SAC \right)\).
- B. \(BM\bot AC\).
- C. \(\left( SAB \right)\bot \left( SBC \right)\).
- D. \(\left( SBM \right)\bot \left( SAC \right)\).
-
- A. Cho \(c\bot a\), \(c\bot b\)khi đó \(a\,\text{//}\,b\).
- B. Cho\(A\bot \left( \alpha \right)\)mọi \(mp\left( \beta \right)\) chứa \(a\)thì \(\left( \beta \right)\bot \left( \alpha \right)\).
- C. Cho\(A\bot b\), nếu\(A\subset \left( \alpha \right)\) và \(b\subset \left( \beta \right)\)thì \(\left( \alpha \right)\bot \left( \beta \right)\)
- D. Cho\(A\bot b\), mọi mặt phẳng chứa \(b\) đều vuông góc với \(a\).
-
Câu 3:
Tìm mệnh đề đúng.
- A. Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông.
- B. Hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng nhau.
- C. Hình hộp có đáy là hình chữ nhật.
- D. Hình lăng trụ đều có đáy là tam giác đều.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 3 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 8 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khởi động trang 65 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 1 trang 65 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 66 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 3 trang 67 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 1 trang 67 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 1 trang 67 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 4 trang 67 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 5 trang 68 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 2 trang 69 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 2 trang 69 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 6 trang 69 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 3 trang 71 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 3 trang 71 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 7 trang 71 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 4 trang 72 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 4 trang 72 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 8 trang 72 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 5 trang 73 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 5 trang 73 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 1 trang 73 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 2 trang 73 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 3 trang 73 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 4 trang 74 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 5 trang 74 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 6 trang 74 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Bài tập 1 trang 61 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 2 trang 61 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 3 trang 61 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 4 trang 61 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 5 trang 62 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 6 trang 62 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 7 trang 62 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Hỏi đáp Bài 3 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
