Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 7

Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?

A. 2x - y +1 = 0.     

B. \(\left\{\begin{matrix}x=2t\\ y=t\end{matrix}\right.\)

C. x² + y² =1.       

D. y = 2x + 3

Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?

A. -x - 2y + 3 = 0   

B. \(\left\{\begin{matrix}x=2+t\\ y=3-t\end{matrix}\right.\)

C. y² = 2x         

D. \(\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{6}=1\) 

Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

A. x² - y² =1                   

B. (x -1)² + (y-2)² = -4

C. x² + y² =2                 

D. y² = 8x.

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?

A. \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{9}=1\)            

B. \(\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{6}=1\)

C. \(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{1}=1\)               

D.  \(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{1}=1\)

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?

A. $\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$                 

B. $\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{6}=1$    

C. $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{1}=1$       

D. $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{1}=1$ 

 Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?

A. x² = 4y           

B. x² = -6y               

C. y² = 4x       

D. y² = -4x  

Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; -1), B(3; 5), C(-2; 4). Tính diện tích tam giác ABC.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A(-1; 0) và B(3; 1).

a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB.

Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² - 4x + 6y -12 = 0.

a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (C).

b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.

Cho elip (E): \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\).

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của (E) với trục hoành và các giao điểm B₁, B₂ của (E) với trục tung. Tính A₁A₂ ,  B₁B₂.

b) Xét một điểm bất kì M(x₀,y₀) thuộc (E).

Chứng minh rằng, \(b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}\) và \(b\leq OM\leq a\).

Cho hypebol có phương trình: \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của hypebol với trục hoành (hoành độ của A₁ nhỏ hơn của A₂).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì \(x\leq -a\), nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì  \(x\geq a\).

c) Tìm các điểm M₁, M₂ tương ứng thuộc cách nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để  M₁M₂ nhỏ nhất.

Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol

A. \(16{x^2} - 5{y^2} =  - 80\)

B. \({x^2} = 4y\)

C. \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

D. \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Cho hai điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( { - 2;3} \right)\). Phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB là:

A. \(x - 3y + 11 = 0\)

B. \(x - 3y + 1 = 0\)

C. \( - x - 3y + 7 = 0\)

D. \(3x + y + 3 = 0\)

Cho điểm \(A\left( {2;3} \right)\) và đường thẳng \(d:x + y + 3 = 0\). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là:

A. \(\frac{8}{{\sqrt {13} }}\)

B. \(4\sqrt 2 \)

C. 8

D. \(2\sqrt 2 \)

Cho hai đường thẳng \(d:x - 2y - 5 = 0\) và \(k:x + 3y + 3 = 0\). Góc giữa hai đường thẳng d và k là:

A. \({30^ \circ }\)

B. \({135^ \circ }\)

C. \({45^ \circ }\)   

D. \({60^ \circ }\)

Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\). Tâm I và bán kính R của đường tròn \(\left( C \right)\) là:

A. \(I\left( {2; - 3} \right),R = 9\)

B. \(I\left( { - 2;3} \right),R = 3\)

C. \(I\left( { - 2;3} \right),R = 9\)

D. \(I\left( {2; - 3} \right),R = 3\)

Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\). Điểm nào sau đây là một tiêu điểm của \(\left( E \right)\)?

A. \(\left( {0;3} \right)\) 

B. \(\left( {4;0} \right)\) 

C. \(\left( {3;0} \right)\) 

D. \(\left( {0;4} \right)\)

Đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 4} \right)\) có phương trình là:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y =  - 1 - 3t\end{array} \right.\)      

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 4 - t\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y =  - 1 - 4t\end{array} \right.\)       

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\)

Cho hypebol \(\left( H \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{13}} = 1\). Tiêu cực của hypebol là:

A. 7  

B. 14

C. \(2\sqrt {23} \) 

D. \(\sqrt {23} \)

Cho hai điểm \(A\left( {0; - 2} \right)\) và \(B\left( {2;4} \right)\). Phương trình đường tròn tâm A đi qua điểm B là:

A. \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 40\) B. \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\)

C. \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 40\) D. \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 10\)

Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(E\left( {2;2} \right)\) là:

A. \({x^2} = 2y\)  

B. \({x^2} = 4y\)

C. \({x^2} = y\)    

D. \(y = 2{x^2}\)

Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\) và điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thuộc đường tròn. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M là:

A. \(y + 1 = 0\)     

B. \(y = 0\)

C. \(x + 1 = 0\)     

D. \(x - 1 = 0\)

Cho đường thẳng \(d:4x + 3y - 2 = 0\) và đường thẳng \(k:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y = 2 - 4t\end{array} \right.\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và k là:

A. Trùng nhau     

B. Song song       

C. Cắt nhau nhưng không vuông góc 

D. Vuông góc

Phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(M\left( {8;0} \right)\) và có tiêu cự bằng 6 là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{100}} = 1\) 

B. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{28}} = 1\)

C. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{73}} = 1\)   

D. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{55}} = 1\)

Cho điểm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và đường thẳng \(d:x - y + 2 = 0\). Phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d là:

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\)   

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\)   

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8\)

Cho đường thẳng \(d:x - y + 3 = 0\). Phương trình đường thẳng song song với d và cách d một khoảng là \(\sqrt 2 \) là

A. \(x + y + 1 = 0\) và \(x + y + 3 = 0\) 

B. \(x - y - 1 = 0\)

C. \(x - y + 3 = 0\)

D. \(x - y + 3 = 0\) và \(x - y - 1 = 0\)

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M\left( { - 3;2} \right)\) và vector \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 5} \right)\). Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và nhận \(\overrightarrow u \) là một vector chỉ phương

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(N\left( {2; - 1} \right)\) và vector \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 1} \right)\). Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua N và nhận \(\overrightarrow n \) là một vector pháp tuyến

Cho tam giác ABC với \(A\left( {1; - 1} \right),B\left( {3;5} \right),C\left( { - 2;4} \right)\)

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

b) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC

d) Tính sin của góc giữa hai đường thẳng AB và AC

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( {3;1} \right)\)

a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB

c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB

Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\)

a) Tìm tọa độ I và bán kính R của \(\left( C \right)\)

b) Chứng minh rằng điểm \(M\left( {5;1} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến d của \(\left( C \right)\) tại M

Các phương trình dưới đây là phương trình chính tắc của đường nào? Khi đó hãy tìm các tiêu điểm, tiêu cực, đường chuẩn (nếu là đường parabol)

a) \({y^2} = 10x\) 

b) \({x^2} - {y^2} = 1\)  

c) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tọa độ các điểm M thuộc \(\left( E \right)\) biết rằng M nhìn hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) dưới một góc vuông 

Lập phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\), biết rằng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\). Khi đó hãy tìm điểm M thuộc \(\left( P \right)\) và cách tiêu điểm của \(\left( P \right)\) một khoảng bằng 5.

Hình vẽ bên minh họa một phòng thì thầm (whispering gallery) với mặt cắt ngang là một hình bán elip với chiều cao 24 feet và chiều rộng 80 feet. Một âm thanh được phát ra từ một tiêu điểm của phòng thì thầm có thể được nghe thấy tại tiêu điểm còn lại. Hỏi hai người nói thì thầm qua lại với nhau thì sẽ cách trung tâm của phòng bao nhiêu mét? Theo đơn vị đo lường quốc tế, 1 feet = 0,3048 m.