Giải bài 7.36 trang 59 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Phương pháp giải

+ A₁ thuộc trục hoành nên y = 0=> tìm được x

+ Ta chứng minh: x² \(\geq \) a²

+ Gọi M₁(x₁; y₁) thuộc nhánh bên trái nên x₁ < 0, M₂(x₂; y₂) thuộc nhánh bên phải nên x₂ > 0

+ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂.

Lời giải chi tiết

a)  A₁ thuộc trục hoành nên y = 0 => \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{0^{2}}{b^{2}}=1\)

<=> x² = a².

Do hoành độ của  A₁ nhỏ hơn hoành độ của A₂ nên A₁(-a; 0) và A₂(a; 0) 

b) Ta chứng minh: x² \(\geq \) a²

Giả sử: x² \(\geq \) a²

\(\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}\geq 1\) (luôn đúng)

Luôn đúng vì \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}=1+\frac{y^{2}}{b^{2}}\geq 1\)

+ Nếu M thuộc nhánh bên trái trục tung thì x < 0 mà x² \(\geq \) a² nên x \(\leq \) -a.

+ Nếu  M thuộc nhánh bên phải trục tung thì x > 0 mà x² \(\geq \) a² nên x \(\geq \) a.

c) Gọi M₁(x₁; y₁) thuộc nhánh bên trái nên x₁ < 0, M₂(x₂; y₂) thuộc nhánh bên phải nên x₂ > 0

Theo b ta có: x₁ \(\leq \) -a và x₂ \(\geq \) a nên |x₁| + |x₂| \(\geq \) a + a = 2a.

Do x₁ < 0 và x₂ > 0 nên x₂ - x₁ = |x₂| + |x₁| \(\geq \) a + a = 2a.

Ta có:  M₁M₂ = \(\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\) 

Lại có: \((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\geq \left ( |x_{2}|+|x_{1}| \right )^{2}+0\geq (2a)^{2}\)

Nên  M₁M₂ \(\geq \) A₁A₂ 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂.

Vậy để M₁M₂ nhỏ nhất thì M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂.

-- Mod Toán 10 HỌC247