Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Cho vectơ \(\overrightarrow a \). Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a ,\left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right)\): (Hình 1)

Cho hai vectơ cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và điểm M như hình 3.

a) Hãy vẽ vectơ \(\overrightarrow {MN}  = 3\overrightarrow a ,\overrightarrow {MP}  =  - 3\overrightarrow b \)

b) Cho biết mỗi ô có cạnh bằng 1. Tính: \(\left| {3\overrightarrow b } \right|,\left| { - 3\overrightarrow b } \right|,\left| {2\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right|\).

Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \)

Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lý/ giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lý/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc \(\overrightarrow b \) của tàu B theo vectơ vận tốc \(\overrightarrow a \) của tòa A.

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương khác \(\overrightarrow 0 \) và cho \(\overrightarrow c  = \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}.\overrightarrow b \). So sánh độ dài và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow c \)

Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \). Chứng minh ba điểm I, G, J  thẳng hàng

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MO} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AC} \)

Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng

a)  \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {MN} \)

b)  \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA}  + 4\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MG} \)

Máy bay A  đang bay về hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng Tây Nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc \(\overrightarrow b \)của máy bay B theo vectơ vận tốc \(\overrightarrow a \) của máy bay A

Cho 2 điểm phân biệt A và B

a) Xác định điểm O sao cho \(\overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow 0 \)

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có \(\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  = 4\overrightarrow {MO} \)

Cho tam giác ABC

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: \(\overrightarrow {MB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AN}  = 3\overrightarrow {NB} ,\overrightarrow {CP}  = \overrightarrow {PA} \)

b) Biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} \)

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm của tam giác ABD. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AG} \)

Gọi AM  là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:

a) \(2\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \)

b)  \(2\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OD} \)        với O là điểm tùy ý

Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \)

b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \)

Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho \(3\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0 \).

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Máy bay A bay với vận tốc \(\overrightarrow a \), máy bay B bay cùng hướng có vận tốc chỉ bằng một nửa máy A. Biểu diễn vectơ vận tốc \(\overrightarrow b \) của máy bay B theo vectơ vận tốc \(\overrightarrow a \)của máy bay A.