Ứng dụng đơn điệu của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức

Cách 1:

Biến đổi BĐT đã cho về dạng f(x) > 0 ( < 0,..) với x \(\in D\).

Lập bảng biến thiên của f(x) với x\(\in D\). Từ đó suy ra điều phải chứng minh .

Cách 2:

Biến đổi BĐT đã cho về dạng f(a)\(\ge \) f(b).

Nếu \(a\ge b\) thì chứng minh f(x) là hàm số đồng biến trên [b;a].

Nếu \(a\le b\) thì chứng minh f(x) là hàm số nghịch biến trên [a;b].

Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có dạng \(f(x)\ge k,\text{ }\forall x\in \left[ a;b \right]\)

* Nếu k=f(a) ta chứng minh hàm f đồng biến trên \(\left( a;b \right)\)

* Nếu k=f(b) ta chứng minh hàm f nghịch biến trên \(\left( a;b \right)\).

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: \(\frac{1}{3}<\sin {{20}^{0}}<\frac{7}{20}\)

Lời giải.

Đặt \(a=\sin {{20}^{0}}\Rightarrow 0

Ta có : \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin {{60}^{0}}=\sin {{3.20}^{0}}=3\sin {{20}^{0}}-4{{\sin }^{3}}{{20}^{0}}\Rightarrow 3a-4{{a}^{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow 4{{a}^{3}}-3a+\frac{\sqrt{3}}{2}=0\Rightarrow a\) là nghiệm của phương trình : \(4{{x}^{3}}-3x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0\)

Xét đa thức : \(f\left( x \right)=4{{x}^{3}}-3x+\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ta có : \(f\left( -1 \right)=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}-2}{2}<0\)

\(f\left( 0 \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}>0\Rightarrow f\left( -1 \right)f\left( 0 \right)<0\)

Bởi vì \(f\left( x \right)\) liên tục trên toàn trục số .

Do đó đa thức \(f\left( x \right)\) có một nghiệm thực trên khoảng \(\left( -1\,;\,0 \right)\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{27\sqrt 3 - 46}}{{54}} > 0\\ f\left( {\frac{7}{{20}}} \right) = \frac{{1000\sqrt 3 - 1757}}{{2000}} < 0 \end{array} \right. \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right)f\left( {\frac{7}{{20}}} \right) < 0\)

⇒ đa thức \(f\left( x \right)\) có một nghiệm thực trên khoảng \(\left( \frac{1}{3}\,;\,\frac{7}{20} \right)\)

Lại có : \(f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{\sqrt{3}-2}{2}<0\) và \(f\left( 1 \right)=\frac{\sqrt{3}+2}{2}>0\Rightarrow f\left( \frac{1}{2} \right)f\left( 1 \right)<0\)

⇒ đa thức \(f\left( x \right)\) có một nghiệm thực trên khoảng \(\left( \frac{1}{2}\,;\,1 \right)\)

Bởi vì \(a\in \left( 0\,;\,\frac{1}{2} \right)\Rightarrow a\) là nghiệm thực trên khoảng \(\left( \frac{1}{3}\,;\,\frac{7}{20} \right)\Rightarrow \) đpcm.

Ví dụ 2. Chứng  minh rằng : 1. \(\sin x\le x\text{  }\) với \(\forall x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) 2. \(\sin x+\operatorname{t}anx>2x\text{ }\) với \(\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)

Lời giải.

1. Xét hàm số \(f\left( x \right)=\sin x-x\) liên tục trên đoạn \(x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\)

Ta có: \(f'\left( x \right)=\cos x-1\le 0\text{ ,}\forall x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow  f\left( x \right)\) là hàm nghịch biến trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\).  

Suy ra \(f\left( x \right)\le f\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow \sin x\le x\text{ ,}\forall x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) (đpcm).

2. Xét hàm số \(f\left( x \right)=\sin x+\operatorname{t}anx-2x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right)\).

Ta có : \(f'\left( x \right)=\cos x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-2>{{\cos }^{2}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-2>0,\forall x\in \left( \text{0;}\frac{\pi }{\text{2}} \right)\)

\(\Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right)\) và \(f\left( x \right)>f\left( 0 \right), \forall x\in \left( \text{0;}\frac{\pi }{\text{2}} \right)\) (đpcm).

Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có : \(2\left( \frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C} \right)-\left( \cot B+\cot C \right)\le 2\sqrt{3}\)

Lời giải.

Xét \(f\left( x \right)=\frac{2}{\sin x}-\cot x\) với \(x\in \left( 0\,;\,\pi  \right)\)

Ta có: \(f\,'\left( x \right)=-\frac{2\cos x}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=\frac{1-2\cos x}{{{\sin }^{2}}x}\)

\(x\in \left( 0\,;\,\pi  \right): f\,'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}\)

\(\Rightarrow \max f\left( x \right)=f\left( \frac{\pi }{3} \right)=\sqrt{3}\Rightarrow \frac{2}{\sin x}-\cot x\le \sqrt{3}\)

Thay x bởi B,C trong bất đẳng thức trên ta được :

\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{{\sin B}} - \cot B \le \sqrt 3 \\ \frac{2}{{\sin C}} - \cot C \le \sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \)đpcm

Ví dụ 4: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có : \(1+\cos A\cos B+\cos A\cos B+\cos A\cos B\le \frac{13}{12}\left( \cos A+\cos B+\cos C \right)+\cos A\cos B\cos C\)

Lời giải.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

\(1-2\cos A\cos B\cos C+2\left( \cos A\cos B+\cos A\cos B+\cos A\cos B \right)+1\ge \frac{13}{6}\left( \cos A+\cos B+\cos C \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C+2\left( \cos A\cos B+\cos A\cos B+\cos A\cos B \right)+1\ge \frac{13}{6}\left( \cos A+\cos B+\cos C \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\left( \cos A+\cos B+\cos C \right)}^{2}}+1\le \frac{13}{6}\left( \cos A+\cos B+\cos C \right)\)

\(\Leftrightarrow \cos A+\cos B+\cos C+\frac{1}{\cos A+\cos B+\cos C}\le \frac{13}{6}\)

Đặt \(t=\cos A+\cos B+\cos C\Rightarrow 1

Xét hàm đặc trưng : \(f\left( t \right)=t+\frac{1}{t}\) với \(t\in \left( 1\,;\,\frac{3}{2} \right]\)

Ta có : \(f\,'\left( x \right)=1-\frac{1}{{{x}^{2}}}>0\,\,\forall t\in \left( 1\,;\,\frac{3}{2} \right]\Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng đó.

\(\Rightarrow f\left( x \right)\le f\left( \frac{3}{2} \right)=\frac{13}{6}\Rightarrow \) đpcm.

Ví dụ 5: Tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh rằng: \(3\left( {{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B+{{\sin }^{2}}C \right)+8R\sin A\sin B\sin C\ge \frac{13}{4{{R}^{2}}}\)

Lời giải.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

\(3.4{{R}^{2}}{{\sin }^{2}}A+3.4{{R}^{2}}{{\sin }^{2}}B+3.4{{R}^{2}}{{\sin }^{2}}C+4\left( 2R\sin A \right)\left( 2R\sin B \right)\left( 2R\sin C \right)\ge 13\)

\(\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}+4abc\ge 13\)

Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử \(a\le b\le c\)

Theo giả thiết : \(a+b+c=3\Rightarrow a+b>c\Rightarrow 3-c>c\Rightarrow 1\le c<\frac{3}{2}\)

Ta biến đổi : \(T=3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}+4abc =3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+3{{c}^{2}}+4abc\)

\(\begin{array}{l} = 3\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab} \right] + 3{c^2} + 4abc\,\, = 3{\left( {3 - c} \right)^2} + 3{c^2} + 4abc - 6ab\\ \,\, = 3{\left( {3 - c} \right)^2} + 3{c^2} + 2ab\left( {2c - 3} \right) = 3{\left( {3 - c} \right)^2} + 3{c^2} - 2ab\left( {3 - 2c} \right) \end{array}\)

Vì \(c<\frac{3}{2}\Rightarrow 2c-3<0\Rightarrow 3-2c>0\) và \(ab\le {{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}={{\left( \frac{3-c}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow -2ab\ge -2{{\left( \frac{3-c}{2} \right)}^{2}}\)

Do đó : \(T\ge 3{{\left( 3-c \right)}^{2}}+3{{c}^{2}}-2{{\left( \frac{3-c}{2} \right)}^{2}}\left( 3-2c \right) ={{c}^{3}}-\frac{3}{2}{{c}^{2}}+\frac{27}{2}=f\left( c \right)\)

Xét \(f\left( c \right)={{c}^{3}}-\frac{3}{2}{{c}^{2}}+\frac{27}{2}\) với \(1\le c<\frac{3}{2}\)

Ta có: \(f\,'\left( c \right)=3{{c}^{2}}-3c\ge 0\,\,\,\forall c\in \left[ 1\,;\,\frac{3}{2} \right)\Rightarrow f\left( c \right)\) đồng biến trên khoảng đó.

\(\Rightarrow f\left( c \right)\ge f\left( 1 \right)=13\Rightarrow \) đpcm

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi \(x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\) ta luôn có:

1. \(\frac{2}{\pi }<\frac{\sin x}{x}<\text{1 }\)

3. \(\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}<\frac{1}{{{x}^{2}}}+1-\frac{4}{{{\pi }^{2}}}\)

2. \({{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^{3}}>\cos x\)

4. \({{2}^{2.\sin x}}+{{2}^{\operatorname{t}anx}}>{{2}^{\frac{3}{2}x+1}}\)

Bài 2: Chứng minh rằng : \(\left| 3x-{{x}^{3}} \right|\le 2, \forall x\in \left[ -2;2 \right]\).

Bài 3: Chứng minh rằng:

1. \(\frac{\sin a}{a}>\frac{\sin b}{b}\) với \(0

3. \(1-\frac{{{x}^{2}}}{2}\le \cos x\) với \(\forall x\in \mathbb{R}\)

2. \(\tan x+\sin x\ge 3x\text{   }\forall x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right)\)

4. \(3\sin x+6\tan x+2{{\tan }^{3}}x-9x>0 x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết của phần đáp án vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Ứng dụng đơn điệu của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Ứng dụng của đơn điệu trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình

Chúc các em học tập tốt!