Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực trị tại điểm Toán 12

Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x₀.

Khi đó để giải bài toán này ,ta tiến hành theo hai bước.

Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x₀ là \(y'({{x}_{0}})=0\), từ điều kiện này ta tìm được giá trị của  tham số .

Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

Chú ý:

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng \(\left( a;b \right)\) chứa điểm \({{x}_{0}}\), \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=0\) và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm \({{x}_{0}}\).

Nếu \(f''\left( {{x}_{0}} \right)<0\) thì hàm số f đạt cực đại tại điểm \({{x}_{0}}\).

Nếu \(f''\left( {{x}_{0}} \right)>0\) thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm \({{x}_{0}}\).

Trong trường hợp \(f'({{x}_{0}})=0\) không tồn tại hoặc \(\left\{ \begin{align} & f'({{x}_{0}})=0 \\ & f''({{x}_{0}})=0 \\ \end{align} \right.\) thì định lý 3 không dùng được.

Ví dụ: Cho hàm số: \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)x+1\). Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại điểm x=1.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1, y''=2x-2m\)

Điều kiện cần: \(y'\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2=0\Leftrightarrow m=1\) hoặc m=2

Điều kiện đủ:

Với m=1 thì \(y''\left( 1 \right)=0\Rightarrow \) hàm số không thể có cực trị.

Với m=2 thì \(y''\left( 1 \right)=-2<0\Rightarrow \) hàm số có cực đại tại x=1

Vậy, m=2 là giá trị cần tìm.

Nhận xét:

\(\bullet \) Nếu trình bày lời giải theo sơ đồ sau: Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & y'(1)=0 \\ & y''(1)<0 \\ \end{align} \right.\) \(\left( * \right)\) thì lời giải chưa chính xác

Vì dấu hiệu nêu trong định lí 3 chỉ phát biểu khi \(y''({{x}_{0}})\ne 0\). Các bạn sẽ thấy điều đó rõ hơn bằng cách giải bài toán sau:

1. Tìm m để hàm số \(y={{x}^{4}}+3m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}+m\) đạt cực tiểu tại x=0

2. Tìm m đề hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3(m-2){{x}^{2}}+(m-4)x+2m-1\) đạt cực đại tại x=-1.

\(\bullet \) Nếu ta khẳng định được \(y''({{x}_{0}})\ne 0\) thì ta sử dụng \(\left( * \right)\) được.

Bài 1 : Tìm các hệ số a,b sao cho hàm số \(y=\frac{a{{x}^{2}}+bx+ab}{ax+b}\) đạt cực trị tại điểm x=0 và x=4.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định trên \(\forall x\ne -\frac{b}{a},a\ne 0\)

Ta có đạo hàm \(y'=\frac{{{a}^{2}}{{x}^{2}}+2abx+{{b}^{2}}-{{a}^{2}}b}{{{\left( ax+b \right)}^{2}}}\)

\(\bullet \mathsf{ }\) Điều kiện cần :

Hàm số đạt cực trị tại điểm x=0 và x=4 khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & y'\left( 0 \right)=0 \\ & y'\left( 4 \right)=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}b}{{{b}^{2}}}=0 \\ & \frac{16{{a}^{2}}+8ab+{{b}^{2}}-{{a}^{2}}b}{{{\left( 4a+b \right)}^{2}}}=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=-2 \\ & b=4 \\ \end{align} \right.\)

\(\bullet \mathsf{ }\) Điều kiện đủ : \(\left\{ \begin{align} & a=-2 \\ & b=4 \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow y'=\frac{{{x}^{2}}-4x}{{{\left( -x+2 \right)}^{2}}}\mathsf{ }y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=4 \\ \end{align} \right.\)

Từ bảng biến thiên : hàm số đạt cực trị tại điểm x=0 và x=4.

Vậy a=-2,b=4 là giá trị cần tìm.

Bài 2 : Cho hàm số: \(y=2{{x}^{2}}-3(m+1){{x}^{2}}+6mx+{{m}^{3}}\). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho  \(AB=\sqrt{2}\).

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\)

Ta có: \({y}'=6(x-1)(x-m)\)

Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ \({y}'=0\) có 2 nghiệm phân biệt tức là \(m\ne 1$.

Với \(m\ne 1\), thì đồ thị của hàm số có các điểm cực trị là \(A(1;{{m}^{3}}+3m-1),\,B(m;3{{m}^{2}})\).

\(AB=\sqrt{2} ⇒ {{(m-1)}^{2}}+(3{{m}^{2}}-{{m}^{3}}-3m+1)=2$ ⇒ $m=0;\,\,m=2\) (thoả điều kiện).

Vậy, \(m=0;\,\,m=2\) là giá trị cần tìm.

Bài 3 : Cho hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+4m}{x+2}.\) Tìm giá trị của tham số thực m sao cho hàm số có hai điểm cực trị A,B thỏa mãn: \(O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=120.\)

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng \(\left( -\infty ;-2 \right)\cup \left( -2;+\infty  \right)\)

Ta có: \(y'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+4x+4-{{m}^{2}}}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\frac{g\left( x \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\)            

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi \(y'\left( x \right)=0\) có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm tức là \(g\left( x \right)=0\) có hai nghiệm phân biệt khác -2

Nghĩa là phải có: \(\left\{ \begin{align} & \Delta '={{m}^{2}}>0 \\ & g\left( -2 \right)={{m}^{2}}\ne 0 \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow m\ne 0.\)

Khi đó hai điểm cực trị là \(A\left( -2-m;-2 \right),\ B\left( -2+m;4m-2 \right)\)

\(\overrightarrow{OA}=\left( -2-m;-2 \right)\Rightarrow O{{A}^{2}}={{\left( -2-m \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}},\ \overrightarrow{OB}=\left( -2+m;4m-2 \right)\)

\(\Rightarrow O{{B}^{2}}={{\left( -2+m \right)}^{2}}+{{\left( 4m-2 \right)}^{2}} \Rightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=18{{m}^{2}}-16m+16=120\Leftrightarrow m=-2\) hoặc \(m=\frac{26}{9}\) thỏa điều kiện \(m\ne 0\)

Vậy, m=-2 hoặc \(m=\frac{26}{9}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực trị tại điểm Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!